O átomo de hidrogênio obtido pela solução da Equação de Schrödinger resulta nos mesmos autovalores de energia do átomo descrito por Bohr, equação abaixo.
En=-me e^48 varepsilon0^2 h^2 1n^2
Por que as energias de Bohr, para diferentes estados quânticos do átomo de hidrogênio, são iguais às obtidas por Schrödinger? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que o átomo de hidrogênio, quando resolvido pela Equação de Schrödinger, dá os mesmos níveis de energia (autovalores de energia) que o modelo de Bohr. A equação de energia de Bohr é:
En=-me e^48 varepsilon0^2 h^2 1n^2
Então, a pergunta é: Por que as energias de Bohr, para diferentes estados quânticos do átomo de hidrogênio, são iguais às obtidas por Schrödinger?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre os dois modelos: o modelo de Bohr e a Equação de Schrödinger, e ver como eles se relacionam nos níveis de energia do hidrogênio.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o modelo de Bohr. Niels Bohr propôs um modelo para o átomo de hidrogênio em 1913, onde o elétron orbita o núcleo em trajetórias circulares com energias quantizadas. Ou seja, o elétron só pode ocupar certos níveis de energia específicos, sem emitir radiação. A energia desses níveis é dada pela equação que a gente tem:
En=-me e^48 varepsilon0^2 h^2 1n^2
Aqui, $ n $ é o número quântico principal, que determina o nível de energia.

Passo 3

Agora, a Equação de Schrödinger é uma equação fundamental da mecânica quântica que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Para o átomo de hidrogênio, resolver a Equação de Schrödinger nos dá as funções de onda dos elétrons e os seus níveis de energia.
Apesar de Bohr ter usado um modelo mais simplificado e semi-clássico, a solução completa da Equação de Schrödinger para o hidrogênio também resulta em níveis de energia quantizados, semelhantes aos obtidos por Bohr.

Passo 4

Então, por que os dois métodos dão os mesmos níveis de energia? A resposta está no fato de que o modelo de Bohr, apesar de simplificado, capta os aspectos essenciais da quantização da energia do elétron no átomo de hidrogênio. Ele impõe condições de quantização que, na verdade, surgem naturalmente quando resolvemos a Equação de Schrödinger de forma mais rigorosa.
Ou seja, o modelo de Bohr era uma aproximação que, sem conhecer a mecânica quântica completa, conseguiu prever corretamente os níveis de energia do hidrogênio. A Equação de Schrödinger, por sua vez, fornece uma descrição mais completa e fundamentada, mas acaba confirmando as mesmas energias previstas por Bohr.

Passo 5

Em termos mais técnicos, a quantização no modelo de Bohr vem da imposição da condição de estabilidade das órbitas, evitando que o elétron emita radiação continuamente. Já na Equação de Schrödinger, a quantização surge naturalmente das condições de contorno das funções de onda, que devem ser normais e finitas. Ambas as abordagens levam a soluções que dependem do número quântico principal $ n $, resultando em energias proporcionais a $ 1/n^{2} $.

Passo 6

Portanto, mesmo sendo métodos diferentes — um semi-clássico e outro totalmente quântico — ambos capturam corretamente a essência da quantização de energia no átomo de hidrogênio. É por isso que as energias de Bohr para os diferentes estados quânticos coincidem com as obtidas pela solução da Equação de Schrödinger.

Resposta

As energias previstas pelo modelo de Bohr coincidem com as obtidas pela Equação de Schrödinger porque ambos capturam corretamente a quantização da energia do elétron no átomo de hidrogênio. Enquanto Bohr impõe condições de quantização para obter níveis de energia específicos, a Equação de Schrödinger, de forma mais rigorosa, naturalmente gera esses mesmos níveis ao resolver as condições de contorno das funções de onda. Assim, apesar de métodos diferentes, ambos os modelos resultam nos mesmos autovalores de energia para os diferentes estados quânticos do átomo de hidrogênio.

Exercícios relacionados