Um átomo de hidrogênio no primeiro estado excitado acaba retornando ao estado fundamental emitindo um fóton. (a) Use a condição de frequência de Bohr h f=Ei-Ef para calcular o comprimento de onda da radiação emitida. Não use a fórmula de RydbergRitz. (b) Se o átomo estava em repouso antes de retornar ao estado fundamental, qual é a energia cinética do átomo após emitir o fóton? Esta é a chamada energia de recuo. O fenômeno aqui é análogo ao
Respostas: (a) 121,6 nm; (b) 5,55 times 10^-8 eV.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos fala sobre um átomo de hidrogênio que está no primeiro estado excitado e retorna ao estado fundamental, emitindo um fóton no processo. Estamos lidando com conceitos de física atômica, especificamente o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio. Para resolver essa questão, vamos precisar usar a condição de frequência de Bohr dada por $ h f = E_i - E_f $, onde:
  • $ h $ é a constante de Planck,
  • $ f $ é a frequência do fóton emitido,
  • $ E_i $ é a energia inicial do átomo,
  • $ E_f $ é a energia final do átomo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia do fóton emitido usando a condição de frequência de Bohr. Sabemos que:
h f = Ei - Ef
No modelo de Bohr, as energias dos níveis são dadas por:
En = -13,6, eVn^2
onde $ n $ é o número quântico principal.
Como o átomo está no primeiro estado excitado, $ n_i = 2 $, e no estado fundamental, $ n_f = 1 $.
Calculando as energias:
n
ni = 2
Então, a energia do fóton emitido é:
nf = 1 ó

Passo 3

Agora, vamos relacionar a energia do fóton com o comprimento de onda usando a fórmula da energia de um fóton:
E = h f = h clambda
Queremos encontrar o comprimento de onda $ \lambda $, então rearranjamos a fórmula:
lambda
Onde:
  • $ h = 6,626 \times 10^{-34}, J·s $ (constante de Planck),
  • $ c = 3,0 \times 10^{8}, m/s $ (velocidade da luz),
  • $ E = 10,2, eV $.
Primeiro, precisamos converter a energia de elétron-volts para joules:
lambda = h cE
h = 6,626 times 10^-34, J·s
Então:
c = 3,0 times 10^8, m/s
E = 10,2, eV
1, eV = 1,602 times 10^-19, J

Passo 4

Para a parte (b), queremos encontrar a energia cinética do átomo após a emissão do fóton, que é chamada de energia de recuo. Esse fenômeno é análogo ao recuo que acontece quando uma arma é disparada.
Vamos utilizar a conservação do momento. Antes da emissão, o átomo estava em repouso, então o momento inicial era zero. Após a emissão, o fóton carrega um momento $ p_f $ e o átomo adquire um momento $ p_a $ na direção oposta, de modo que:
pf
A energia cinética do átomo pode ser obtida por:
pa
onde $ m $ é a massa do átomo de hidrogênio ($ \approx 1,67 \times 10^{-27}, kg $).
Sabemos que o momento do fóton é:
pf = pa
Já calculamos $ E = 1,634 \times 10^{-18}, J $, então:
KE = pa^22m
Portanto, o momento do átomo é:
m
Agora, calculamos a energia cinética:
approx 1,67 times 10^-27, kg
pf = Ec
E = 1,634 times 10^-18, J
Convertendo para elétron-volts:
pf = 1,634 times 10^-18, J3,0 times 10^8, m/s = 5,45 times 10^-27, kg·m/s
pa = 5,45 times 10^-27, kg·m/s

Resposta

(a) O comprimento de onda da radiação emitida é $ 121,6, \mathrm{~nm} $.
(b) A energia cinética do átomo após emitir o fóton (energia de recuo) é $ 5,55 \times 10^{-8}, \mathrm{eV} $.

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