Um átomo de hidrogênio no primeiro estado excitado acaba retornando ao estado fundamental emitindo um fóton. (a) Use a condição de frequência de Bohr
para calcular o comprimento de onda da radiação emitida. Não use a fórmula de RydbergRitz. (b) Se o átomo estava em repouso antes de retornar ao estado fundamental, qual é a energia cinética do átomo após emitir o fóton? Esta é a chamada energia de recuo. O fenômeno aqui é análogo ao
Respostas: (a)
; (b)
.
Respostas: (a)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos fala sobre um átomo de hidrogênio que está no primeiro estado excitado e retorna ao estado fundamental, emitindo um fóton no processo. Estamos lidando com conceitos de física atômica, especificamente o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio. Para resolver essa questão, vamos precisar usar a condição de frequência de Bohr dada por $ h f = E_i - E_f $, onde:
- $ h $ é a constante de Planck,
- $ f $ é a frequência do fóton emitido,
- $ E_i $ é a energia inicial do átomo,
- $ E_f $ é a energia final do átomo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia do fóton emitido usando a condição de frequência de Bohr. Sabemos que:
No modelo de Bohr, as energias dos níveis são dadas por:
onde $ n $ é o número quântico principal.
Como o átomo está no primeiro estado excitado, $ n_i = 2 $, e no estado fundamental, $ n_f = 1 $.
Calculando as energias:
Então, a energia do fóton emitido é:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a energia do fóton com o comprimento de onda usando a fórmula da energia de um fóton:
Queremos encontrar o comprimento de onda $ \lambda $, então rearranjamos a fórmula:
Onde:
- $ h = 6,626 \times 10^{-34}, J·s $ (constante de Planck),
- $ c = 3,0 \times 10^{8}, m/s $ (velocidade da luz),
- $ E = 10,2, eV $.
Primeiro, precisamos converter a energia de elétron-volts para joules:
Então:
Passo 4
Para a parte (b), queremos encontrar a energia cinética do átomo após a emissão do fóton, que é chamada de energia de recuo. Esse fenômeno é análogo ao recuo que acontece quando uma arma é disparada.
Vamos utilizar a conservação do momento. Antes da emissão, o átomo estava em repouso, então o momento inicial era zero. Após a emissão, o fóton carrega um momento $ p_f $ e o átomo adquire um momento $ p_a $ na direção oposta, de modo que:
A energia cinética do átomo pode ser obtida por:
onde $ m $ é a massa do átomo de hidrogênio ($ \approx 1,67 \times 10^{-27}, kg $).
Sabemos que o momento do fóton é:
Já calculamos $ E = 1,634 \times 10^{-18}, J $, então:
Portanto, o momento do átomo é:
Agora, calculamos a energia cinética:
Convertendo para elétron-volts:
Resposta
(a) O comprimento de onda da radiação emitida é $ 121,6, \mathrm{~nm} $.
(b) A energia cinética do átomo após emitir o fóton (energia de recuo) é $ 5,55 \times 10^{-8}, \mathrm{eV} $.