Para o segundo estado excitado de uma partícula em uma caixa unidimensional
, calcule: d) Baseando-se nos itens anteriores confira que de fato
é válido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para, no segundo estado excitado de uma partícula em uma caixa unidimensional (quando $ n=3 $), confirmar que a relação $ \langle p^{2} \rangle = 2m\langle E \rangle $ é válida. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre partículas em uma caixa e entender como calcular valores médios de energia e momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a energia de um estado $ n $ para uma partícula em uma caixa unidimensional. A fórmula para a energia quantizada é:
Aqui, $ n $ é o número quântico principal (no nosso caso, $ n=3 $), $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula e $ L $ é o comprimento da caixa.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \langle E \rangle $ para $ n=3 $. Como estamos tratando de um estado específico, o valor médio da energia $ \langle E \rangle $ é simplesmente $ E_n $:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular $ \langle p^{2} \rangle $. Sabemos que em mecânica quântica, o operador momento é dado por $ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $. O valor esperado de $ p^2 $ para um estado $ n $ é:
Para a partícula na caixa, sabemos que:
Então, para $ n=3 $:
Passo 5
Agora, vamos verificar a relação $ \langle p^{2} \rangle = 2m\langle E \rangle $. Substituindo os valores que calculamos:
Comparando com $ \langle p^{2} \rangle $:
Resposta
Conferimos que, para $ n=3 $, realmente vale $ \langle p^{2} \rangle = 2m\langle E \rangle $.