Um átomo de hidrogênio em repouso no laboratório emite a radiação alpha da série de Lyman. (a) Calcule a energia cinética de recuo do átomo. (b) Que fração da energia de excitação do estado n=2 é transformada em energia de recuo do átomo? (Sugestão: Use a lei de conservação do momento.)

Passo 1

Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um átomo de hidrogênio que está parado no laboratório e emite radiação alfa da série de Lyman. Precisamos resolver duas partes:
(a) Calcular a energia cinética de recuo do átomo após a emissão.
(b) Determinar qual fração da energia de excitação do estado $ n=2 $ é convertida em energia de recuo do átomo.
Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Conservação do Momento e conceitos de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a série de Lyman. É uma série de linhas espectrais que correspondem a transições eletrônicas no átomo de hidrogênio, onde o elétron retorna ao nível de energia $ n=1 $. A radiação alfa da série de Lyman refere-se à transição de $ n=2 $ para $ n=1 $.

Passo 3

Vamos calcular a energia liberada na transição de $ n=2 $ para $ n=1 $. A energia dos níveis do hidrogênio é dada por:
n=2
Para $ n=2 $:
n=1
Para $ n=1 $:
En = -13,6 , eVn^2
A energia liberada na transição é:
n=2
Portanto, a energia liberada é $ 10,2 , eV $.

Passo 4

Quando o átomo emite um fóton, ele também sofre um recuo devido à conservação do momento. Vamos usar a Lei de Conservação do Momento. O momento inicial do sistema (átomo em repouso) é zero, então o momento final do átomo e do fóton também deve ser zero:
pátomo + pfóton = 0 áó
Isso implica que:
pátomo = -pfóton áó

Passo 5

Vamos calcular o momento do fóton emitido. A energia do fóton ($ E_{fóton} Efóton á p_{fóton} $) pela relação:
pfóton óó
Onde $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^8 , m/s $). Rearranjando:
Efóton = pfóton c óó

Passo 6

Sabemos que $ E_{fóton} = 10,2 , eV $. Vamos converter essa energia para Joules:
Efóton = 10,2 , eV
Então:
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J ó
Agora, calculamos $ p_{fóton} $:
Efóton = 10,2 times 1,602 times 10^-19 , J = 1,634 times 10^-18 , J ó

Passo 7

Como $ p_{átomo} = -p_{fóton} $, o momento do átomo é $ p_{átomo} = 5,45 \times 10^{-27} , kg·m/s $. Agora, usamos a relação entre momento e velocidade:
pátomo = -pfóton
Onde $ m $ é a massa do átomo de hidrogênio ($ \approx 1,67 \times 10^{-27} , kg $). Então:
pátomo = 5,45 times 10^-27 , kg·m/s

Passo 8

Agora, calculamos a energia cinética de recuo do átomo ($ E_{c} $):
Ec
Substituindo os valores:
Ec = 12 m v^2
Convertendo para eV:
Ec = 12 times 1,67 times 10^-27 times (3,26)^2 approx 12 times 1,67 times 10^-27 times 10,63 approx 8,88 times 10^-27 , J

Passo 9

Para a parte (b), queremos saber qual fração da energia de excitação ($ 10,2 , eV 10,2 , eV 5,54 \times 10^{-8} , eV 5,54 times 10^-8 , eV çã f $) é:
f
Ou seja, aproximadamente $ 5,43 \times 10^{-9} $ da energia de excitação foi transformada em energia de recuo.

Resposta

(a) A energia cinética de recuo do átomo é aproximadamente $ 5,54 \times 10^{-8} , eV $.
(b) A fração da energia de excitação que se transforma em energia de recuo é aproximadamente $ 5,43 \times 10^{-9} $ (ou $ 5,43 \times 10^{-7}% $).

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