Um átomo de hidrogênio em repouso no laboratório emite a radiação
da série de Lyman. (a) Calcule a energia cinética de recuo do átomo. (b) Que fração da energia de excitação do estado
é transformada em energia de recuo do átomo? (Sugestão: Use a lei de conservação do momento.)
Passo 1
Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um átomo de hidrogênio que está parado no laboratório e emite radiação alfa da série de Lyman. Precisamos resolver duas partes:
(a) Calcular a energia cinética de recuo do átomo após a emissão.
(b) Determinar qual fração da energia de excitação do estado $ n=2 $ é convertida em energia de recuo do átomo.
Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Conservação do Momento e conceitos de energia cinética.
(a) Calcular a energia cinética de recuo do átomo após a emissão.
(b) Determinar qual fração da energia de excitação do estado $ n=2 $ é convertida em energia de recuo do átomo.
Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Conservação do Momento e conceitos de energia cinética.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a série de Lyman. É uma série de linhas espectrais que correspondem a transições eletrônicas no átomo de hidrogênio, onde o elétron retorna ao nível de energia $ n=1 $. A radiação alfa da série de Lyman refere-se à transição de $ n=2 $ para $ n=1 $.
Passo 3
Vamos calcular a energia liberada na transição de $ n=2 $ para $ n=1 $. A energia dos níveis do hidrogênio é dada por:
Para $ n=2 $:
Para $ n=1 $:
A energia liberada na transição é:
Portanto, a energia liberada é $ 10,2 , eV $.
Passo 4
Quando o átomo emite um fóton, ele também sofre um recuo devido à conservação do momento. Vamos usar a Lei de Conservação do Momento. O momento inicial do sistema (átomo em repouso) é zero, então o momento final do átomo e do fóton também deve ser zero:
Isso implica que:
Passo 5
Vamos calcular o momento do fóton emitido. A energia do fóton ($ E_{fóton}
p_{fóton} $) pela relação:
Onde $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^8 , m/s $). Rearranjando:
Passo 6
Sabemos que $ E_{fóton} = 10,2 , eV $. Vamos converter essa energia para Joules:
Então:
Agora, calculamos $ p_{fóton} $:
Passo 7
Como $ p_{átomo} = -p_{fóton} $, o momento do átomo é $ p_{átomo} = 5,45 \times 10^{-27} , kg·m/s $. Agora, usamos a relação entre momento e velocidade:
Onde $ m $ é a massa do átomo de hidrogênio ($ \approx 1,67 \times 10^{-27} , kg $). Então:
Passo 8
Agora, calculamos a energia cinética de recuo do átomo ($ E_{c} $):
Substituindo os valores:
Convertendo para eV:
Passo 9
Para a parte (b), queremos saber qual fração da energia de excitação ($ 10,2 , eV
5,54 \times 10^{-8} , eV
f $) é:
Ou seja, aproximadamente $ 5,43 \times 10^{-9} $ da energia de excitação foi transformada em energia de recuo.
Resposta
(a) A energia cinética de recuo do átomo é aproximadamente $ 5,54 \times 10^{-8} , eV $.
(b) A fração da energia de excitação que se transforma em energia de recuo é aproximadamente $ 5,43 \times 10^{-9} $ (ou $ 5,43 \times 10^{-7}% $).