Em seus primeiros experimentos, Compton usou fótons com um comprimento de onda de 0,0711 nm. (a) Qual é a energia desses fótons? (b) Para um ângulo de espalhamento de 180^circ, qual é o comprimento de onda do fóton espalhado? © Qual é a energia do fóton espalhado? (d) Qual é a energia do elétron após o espalhamento?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um experimento de Compton onde fótons têm um comprimento de onda inicial de 0,0711 nm. A matéria envolvida aqui é física de partículas, mais especificamente o efeito Compton, que trata da interação entre fótons (partículas de luz) e elétrons. Para resolver essa questão, vamos precisar usar fórmulas de energia de fótons e a fórmula do deslocamento Compton para comprimentos de onda espalhados.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): qual é a energia desses fótons? Para isso, vamos usar a fórmula da energia de um fóton, que é dada por:
E = hclambda
Onde:
  • $ E $ é a energia do fóton,
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s),
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ 3,00 \times 10^{8} $ m/s),
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda.
Vamos converter o comprimento de onda de nanômetros para metros:
E
Agora, substituímos os valores na fórmula:
h

Passo 3

Calculando a energia:
E = 1,9878 times 10^-250,0711 times 10^-9
E approx 2,8 times 10^-16 J
Para facilitar, podemos converter essa energia para elétron-volts (eV), sabendo que $ 1 eV = 1,602 \times 10^{-19} J $:
1 eV = 1,602 times 10^-19 J
E approx 2,8 times 10^-161,602 times 10^-19
E approx 1,75 times 10^3 eV

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): para um ângulo de espalhamento de $ 180^{\circ} $, qual é o comprimento de onda do fóton espalhado? Aqui usamos a fórmula do deslocamento Compton:
180^circ
Onde:
  • $ \lambda’ $ é o comprimento de onda após o espalhamento,
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda inicial,
  • $ h $ é a constante de Planck,
  • $ m_e $ é a massa do elétron ($ 9,109 \times 10^{-31} $ kg),
  • $ c $ é a velocidade da luz,
  • $ \theta $ é o ângulo de espalhamento.
Para $ \theta = 180^{\circ} $, $ \cos 180^{\circ} = -1 $, então:
lambda' = lambda + hme c (1 - cos theta)
A constante $ \frac{h}{m_e c} $ é conhecida como comprimento de onda Compton e vale aproximadamente $ 2,426 \times 10^{-12} $ m.

Passo 5

Substituindo os valores:
lambda' = 0,0711 times 10^-9 m + 2 times 2,426 times 10^-12 m
lambda' = 0,0711 times 10^-9 + 4,852 times 10^-12
lambda' = 7,11 times 10^-11 + 4,852 times 10^-12
lambda' approx 7,5952 times 10^-11 m
lambda' approx 0,07595 nm

Passo 6

Agora, para a parte ©: qual é a energia do fóton espalhado? Usamos novamente a fórmula da energia do fóton:
E' = hclambda'
Substituindo os valores:
E' = 6,626 times 10^-34 times 3,00 times 10^87,5952 times 10^-11

Passo 7

Calculando a energia:
E' = 1,9878 times 10^-257,5952 times 10^-11
E' approx 2,616 times 10^-15 J
Convertendo para eV:
E' approx 2,616 times 10^-151,602 times 10^-19
E' approx 1,632 times 10^4 eV
E' approx 16,32 keV

Passo 8

Por fim, a parte (d): qual é a energia do elétron após o espalhamento? A energia transferida ao elétron é a diferença entre a energia inicial do fóton e a energia do fóton espalhado:
Ee = E - E'
Usando os valores que calculamos:
Ee = 1,75 keV - 16,32 keV
Aqui percebemos que houve um erro nos cálculos anteriores, pois a energia do fóton espalhado não pode ser maior que a inicial. Vamos revisar o passo 5.

Passo 9

Revisando o passo 5, notamos que o cálculo do comprimento de onda espalhado não estava correto. Vamos refazer:
lambda' = 0,0711 nm + 0,002426 nm times 2
lambda' = 0,0711 + 0,004852
lambda' = 0,075952 nm
Agora, recalculando a energia do fóton espalhado:
E' = 1240 eV·nm0,075952 nm
E' approx 16,31 keV
Ainda assim, a energia aumentou, o que não faz sentido. O erro está na interpretação do deslocamento Compton. Na verdade, o comprimento de onda aumenta, então a energia diminui.
Vamos refazer corretamente:
Ee = E - E'
Ee = 17,43 keV - 16,31 keV
Ee approx 1,12 keV

Resposta

A energia do elétron após o espalhamento é aproximadamente 1,12 keV.

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