A que distancia da Terra, medida ao longo da linha que une os centros da Terra e do Sol, deve estar uma sonda espacial para que a atração gravitacional anule a da Terra? Dados:
, Distância Terra-Sol
.
Passo 1
Beleza! O enunciado pergunta: “A que distância da Terra, ao longo da reta que liga os centros da Terra e do Sol, a força de atração gravitacional do Sol anula a da Terra?”
Conteúdo: Lei da Gravitação Universal de Newton.
O que a gente vai usar:
Conteúdo: Lei da Gravitação Universal de Newton.
O que a gente vai usar:
- A fórmula da força gravitacional:
- Igualar a força do Sol sobre a sonda com a força da Terra sobre a sonda.
Passo 2
Primeiro, entendendo a ideia: para “anular” a atração, a força que o Sol faz na sonda deve ter o mesmo módulo que a força que a Terra faz, só que em sentidos opostos. Aí, o resultado é zero força líquida.
Então, escrevemos:
Então, escrevemos:
Passo 3
Escrevendo cada lado com a lei de Newton:
- Para o Sol:
onde m é a distância Terra–Sol, e é a distância Terra–sonda que a gente quer. - Para a Terra:
Como o
aparece dos dois lados e
também, dá pra cancelar:
[
\frac{m_{sol}}{(R - d)^2}
\frac{m_{Terra}}{d^2}
]
]
Passo 4
Agora, só rearranjar pra achar
:
[
\frac{m_{sol}}{m_{Terra}}
\frac{(R - d)2}{d2}
\quad\Longrightarrow\quad
\sqrt{\frac{m_{sol}}{m_{Terra}}}
\frac{R - d}{d}
]
]
Chama
. Então:
Passo 5
Calculando
:
Então
Resposta
A sonda deve ficar a aproximadamente
da Terra para as atrações gravitacionais se anularem.