A que distancia da Terra, medida ao longo da linha que une os centros da Terra e do Sol, deve estar uma sonda espacial para que a atração gravitacional anule a da Terra? Dados: m sol =1,99 times 10^30 kg, m Terra =5.96 times 10^24 kg, Distância Terra-Sol 150 times 10^9 m.

Passo 1

Beleza! O enunciado pergunta: “A que distância da Terra, ao longo da reta que liga os centros da Terra e do Sol, a força de atração gravitacional do Sol anula a da Terra?”
Conteúdo: Lei da Gravitação Universal de Newton.
O que a gente vai usar:
  • A fórmula da força gravitacional: F = G,m1,m2r^2
  • Igualar a força do Sol sobre a sonda com a força da Terra sobre a sonda.

Passo 2

Primeiro, entendendo a ideia: para “anular” a atração, a força que o Sol faz na sonda deve ter o mesmo módulo que a força que a Terra faz, só que em sentidos opostos. Aí, o resultado é zero força líquida.
Então, escrevemos:
FSol na sonda = FTerra na sonda

Passo 3

Escrevendo cada lado com a lei de Newton:
  • Para o Sol: FSol = G,msol,msonda(R - d)^2onde FTerra = G,mTerra,msondad^2 m é a distância Terra–Sol, e msol(R - d)^2 = mTerrad^2 é a distância Terra–sonda que a gente quer.
  • Para a Terra:
Como o aparece dos dois lados e também, dá pra cancelar:

[
\frac{m_{sol}}{(R - d)^2}

\frac{m_{Terra}}{d^2}
]

Passo 4

Agora, só rearranjar pra achar msolmTerra = (R - d)^2d^2 Longrightarrow raizmsolmTerra = R - dd :
[
\frac{m_{sol}}{m_{Terra}}

\frac{(R - d)2}{d2}
\quad\Longrightarrow\quad
\sqrt{\frac{m_{sol}}{m_{Terra}}}

\frac{R - d}{d}
]
Chama R - d = alpha,d Longrightarrow R = d,(1 + alpha) Longrightarrow d = R1 + alpha . Então:

Passo 5

Calculando alpha = raiz1,99times10^305,96times10^24 approx raiz3,34times10^5 approx 5,78times10^2 :
d = 150times10^9 m1 + 5,78times10^2 approx 1,50times10^11579 approx 2,59times10^8 m
Então

Resposta

A sonda deve ficar a aproximadamente
boxed2,6times10^8 m
da Terra para as atrações gravitacionais se anularem.

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