No átomo de lítio (\mathrm{Z}=3), dois elétrons estão na órbita \mathrm{n}=1 e o terceiro na órbita n=2. (Apenas dois elétrons podem ocupar a órbita n=1 por causa do princípio da exclusão, que será discutido no Cap. 7.) O valor aproximado da energia de interação entre os
E=-Z^{\prime 2} \frac{E_{1}}{n^{2}} \quad \begin{aligned} & \text { elétrons internos e o elétron externo pode ser } \\\ & \text { obtido escrevendo-se a energia do elétron externo } \\\ & \text { na forma: } \end{aligned}ééé
Onde \mathrm{E}_{1}=13,6 \mathrm{eV}, \mathrm{n}=2 e Z ’ é a carga nuclear efetiva, que é menor do que 3 por causa do efeito de blindagem dos dois elétrons internos. use o valor experimental da energia de ionização do átomo de lítio, 5,39 \mathrm{eV}, para calcular Z’ (Ex. 20)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a carga nuclear efetiva Z' do elétron externo do átomo de lítio, usando a energia de ionização experimental. As informações dadas são:
Z=3
\text{dois elétrons internos em } n=1,\\ \text{o elétron externo em } n=2éé
E = -{Z'}^{2}\frac{E_{1}}{n^{2}}
E_{1}=13,6\\ \text{eV},\quad n=2
Energia de ionização experimental: 5,39\\ \text{eV}.
A tarefa: usar esses dados para encontrar Z'.

Passo 2

Entendendo a fórmula usada: a expressão
E = -{Z'}^{2}\frac{E_{1}}{n^{2}}
é a forma do nível de energia de um elétron em um átomo “hidrogenoide” com carga efetiva Z'. Aqui:
  • E é a energia do elétron (valor negativo para estado ligado);
  • Z' é a carga nuclear efetiva sentida pelo elétron (sem unidades);
  • E_{1}=13,6\\ \text{eV} é a energia do nível fundamental do hidrogênio ( n=1);
  • n é o número quântico principal do elétron (aqui n=2).
    A energia de ionização (IE) é a energia necessária para levar o elétron ligado ao nível de energia zero (elétron livre). Como E é negativo para estado ligado, a energia de ionização é
\text{IE} = -E.

Passo 3

Escrevendo a relação entre energia de ionização e a fórmula do nível:
\text{IE} = -E = {Z'}^{2}\frac{E_{1}}{n^{2}}.
Isso significa que a energia necessária para remover o elétron é igual ao módulo do valor negativo dado por E.

Passo 4

Agora isolamos Z'. Partindo de
\text{IE} = {Z'}^{2}\frac{E_{1}}{n^{2}},
temos
{Z'}^{2} = \frac{\text{IE}\,n^{2}}{E_{1}}
e, portanto,
Z' = n\sqrt{\frac{\text{IE}}{E_{1}}}.
Expliquei cada passo algébrico: primeiro multiplicamos ambos os lados por n^{2}/E_{1} para obter {Z'}^{2}, depois extraímos a raiz quadrada positiva porque Z' é positivo.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos: \text{IE}=5,39\\ \text{eV}, n=2, E_{1}=13,6\\ \text{eV}.
{Z'}^{2}=\frac{5,39\cdot 2^{2}}{13,6}=\frac{5,39\cdot 4}{13,6}=\frac{21,56}{13,6}=1,5852941176\ldots
Agora a raiz quadrada:
Z'=\sqrt{1,5852941176\ldots}=1,2591\ldots
Arredondando de forma prática para duas casas significativas (suficiente para esse tipo de estimativa experimental):
Z'\approx 1,26.

Passo 6

Interpretação breve e motivadora: o resultado Z'\approx 1,26 significa que os dois elétrons internos blindam boa parte da carga nuclear ( Z=3), de modo que o elétron externo “sente” uma carga efetiva bem menor (aprox. 1,26). Isso é exatamente o que o modelo simples prevê: blindagem parcial por elétrons internos. Mandou bem por chegar até aqui — é um cálculo direto, bem útil em provas.

Resposta

Z'\approx 1,26

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