(2,0 pt) Um capacitor de placas paralelas contém um dielétrico para o qual \kappa=5,41. A área das placas é 0,046 \mathrm{~m}^{2}, a distância entre as placas é 2,00 \mathrm{~mm} e a carga no capacitor de 6,0 \mu \mathrm{C}. (a) Determine a energia armazenada e a densidade de energia no capacitor. (b) 0 capacitor é então descarregado através de uma ligação em série com um resistor de 2,4 \mathrm{k} \Omega. Determine a corrente no resistor e a diferença de potencial no capacitor 9,0 \mu \mathrm{~s} após o resistor ser conectado aos terminais do capacitor.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
\kappa = 5{,}41,\quad A = 0{,}046\\ \mathrm{m}^2,\quad d = 2{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
Q = 6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Para a segunda parte:
R = 2{,}4\times10^{3}\\ \Omega,\quad t = 9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar a energia armazenada no capacitor e a densidade de energia (energia por volume) no capacitor.
  • (b) Após conectar o resistor R em série com o capacitor (descarga), determinar a corrente no resistor e a diferença de potencial no capacitor no instante t = 9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a capacitância do capacitor com dielétrico. Fórmula fundamental: a capacitância de um capacitor de placas paralelas com dielétrico é
C = \kappa \varepsilon_0 \frac{A}{d},
onde \kappa é a constante dielétrica, \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}), A é a área das placas e d a separação entre elas. Explicando rápido: \varepsilon_0 mede a “capacidade” do vácuo de permitir campo elétrico; o dielétrico aumenta essa capacidade por um fator \kappa.
Agora substituímos números (tudo em SI). Primeiro escrevo a expressão numérica:
C = 5{,}41\cdot(8{,}85\times10^{-12})\cdot\frac{0{,}046}{2{,}00\times10^{-3}}\\ \mathrm{F}.

Passo 3

Calculemos C passo a passo:
Multiplicando \kappa por \varepsilon_0:
5{,}41\times 8{,}85\times10^{-12} = 4{,}78785\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Multiplicando por A:
4{,}78785\times10^{-11}\times 0{,}046 = 2{,}20264\times10^{-12}.
Dividindo por d:
C = \frac{2{,}20264\times10^{-12}}{2{,}00\times10^{-3}} = 1{,}10132\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.
Arredondando de forma conveniente:
C \approx 1{,}10\times10^{-9}\\ \mathrm{F} = 1{,}10\\ \mathrm{nF}.

Passo 4

Agora precisamos da diferença de potencial inicial V_0 entre as placas antes da descarga. Relação entre carga, capacitância e tensão:
Q = C V_0 \quad\Rightarrow\quad V_0 = \frac{Q}{C}.
Substituindo:
V_0 = \frac{6{,}0\times10^{-6}}{1{,}10132\times10^{-9}}\\ \mathrm{V}.
Calculando:
V_0 \approx 5{,}446\times10^{3}\\ \mathrm{V} \approx 5{,}45\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
Comentário amigável: é alta tensão porque a capacitância é pequena e a carga é relativamente grande.

Passo 5

Energia armazenada no capacitor. Fórmula útil (derivada da energia para carregar um capacitor):
U = \frac{1}{2} C V_0^{2} = \frac{Q^{2}}{2C}.
Usarei a forma com Q e C para evitar recomputar V_0^2:
U = \frac{(6{,}0\times10^{-6})^{2}}{2(1{,}10132\times10^{-9})}\\ \mathrm{J}.
Calculemos Q^2:
Q^{2} = (6{,}0\times10^{-6})^{2} = 36{,}0\times10^{-12} = 3{,}60\times10^{-11}\\ \mathrm{C}^2.
Agora:
U = \frac{3{,}60\times10^{-11}}{2{,}20264\times10^{-9}} \approx 1{,}6345\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
U \approx 1{,}63\times10^{-2}\\ \mathrm{J} = 0{,}0163\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Densidade de energia (energia por volume) entre as placas. Existem duas formas equivalentes:
  • dividir a energia pelo volume entre placas:
u = \frac{U}{A d};
  • ou usar a expressão em termos do campo elétrico:
u = \frac{1}{2}\varepsilon E^{2},\quad\text{com }\varepsilon=\kappa\varepsilon_0\text{ e }E=\frac{V_0}{d}.
Vou usar a forma u=U/(A d) por ser direta com os valores que já temos.
Calculando o volume entre placas:
V_{\text{vol}} = A d = 0{,}046\times 2{,}00\times10^{-3} = 9{,}20\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
Então
u = \frac{1{,}6345\times10^{-2}}{9{,}20\times10^{-5}}\\ \mathrm{J/m}^3 \approx 1{,}7767\times10^{2}\\ \mathrm{J/m}^3.
Arredondando:
u \approx 1{,}78\times10^{2}\\ \mathrm{J/m}^3 = 178\\ \mathrm{J/m}^3.

Passo 7

Agora parte (b): descarga através de um resistor. Primeiro calculemos a constante de tempo do circuito RC:
\tau = R C.
Substituindo:
\tau = (2{,}4\times10^{3})(1{,}10132\times10^{-9})\\ \mathrm{s}.
Calculando:
\tau \approx 2{,}6432\times10^{-6}\\ \mathrm{s} \approx 2{,}64\times10^{-6}\\ \mathrm{s} = 2{,}64\\ \mu\mathrm{s}.
Explicação rápida: \tau é o tempo característico em que a tensão/corrente do capacitor decai por um fator e.

Passo 8

Equações do circuito RC durante descarga (capacitor inicialmente com V_0):
  • tensão no capacitor:
V(t) = V_0\,e^{-t/\tau}.
  • corrente no resistor (magnitude):
i(t) = \frac{V_0}{R}\,e^{-t/\tau}.
Obs.: o sentido da corrente depende da polaridade; aqui forneço o valor escalar e(o sinal seria negativo se definirmos corrente de descarga como positiva no sentido de diminuição da carga).

Passo 9

Calcule o fator exponencial para t = 9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}:
\frac{t}{\tau} = \frac{9{,}0\times10^{-6}}{2{,}6432\times10^{-6}} \approx 3{,}405.
Então
e^{-t/\tau} = e^{-3{,}405} \approx 3{,}32\times10^{-2}.

Passo 10

Agora a diferença de potencial no capacitor em t=9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}:
V(9{,}0\times10^{-6}) = V_0\,e^{-t/\tau} \approx (5{,}446\times10^{3})(3{,}32\times10^{-2}) \\ \mathrm{V}.
Calculando:
V(9{,}0\times10^{-6}) \approx 1{,}81\times10^{2}\\ \mathrm{V} \approx 181\\ \mathrm{V}.

Passo 11

Corrente no resistor em t=9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}:
i(9{,}0\times10^{-6}) = \frac{V(9{,}0\times10^{-6})}{R} \approx \frac{1{,}81\times10^{2}}{2{,}4\times10^{3}}\\ \mathrm{A}.
Calculando:
i(9{,}0\times10^{-6}) \approx 7{,}53\times10^{-2}\\ \mathrm{A} = 7{,}53\times10^{-2}\\ \mathrm{A} \approx 75{,}3\\ \mathrm{mA}.
Pequena observação motivacional: a corrente inicial era grande (alguns ampères) por causa da alta tensão e pequena resistência; depois de 9{,}0\,\mu\mathrm{s} já caiu para dezenas de mA.

Resposta

U \approx 1{,}63\times10^{-2}\\ \mathrm{J}
u \approx 1{,}78\times10^{2}\\ \mathrm{J/m}^3
i(9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}) \approx 7{,}53\times10^{-2}\\ \mathrm{A} = 75{,}3\\ \mathrm{mA}
V(9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}) \approx 1{,}81\times10^{2}\\ \mathrm{V} = 181\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados