(2,0 pt) Um capacitor de placas paralelas contém um dielétrico para o qual
. A área das placas é
, a distância entre as placas é
e a carga no capacitor de
. (a) Determine a energia armazenada e a densidade de energia no capacitor. (b) 0 capacitor é então descarregado através de uma ligação em série com um resistor de
. Determine a corrente no resistor e a diferença de potencial no capacitor
após o resistor ser conectado aos terminais do capacitor.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
Para a segunda parte:
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar a energia armazenada no capacitor e a densidade de energia (energia por volume) no capacitor.
- (b) Após conectar o resistor
em série com o capacitor (descarga), determinar a corrente no resistor e a diferença de potencial no capacitor no instante .
Passo 2
Vamos primeiro calcular a capacitância do capacitor com dielétrico. Fórmula fundamental: a capacitância de um capacitor de placas paralelas com dielétrico é
onde
é a constante dielétrica,
é a permissividade do vácuo (
),
é a área das placas e
a separação entre elas. Explicando rápido:
mede a “capacidade” do vácuo de permitir campo elétrico; o dielétrico aumenta essa capacidade por um fator
.
Agora substituímos números (tudo em SI). Primeiro escrevo a expressão numérica:
Passo 3
Calculemos
passo a passo:
Multiplicando
por
:
Multiplicando por
:
Dividindo por
:
Arredondando de forma conveniente:
Passo 4
Agora precisamos da diferença de potencial inicial
entre as placas antes da descarga. Relação entre carga, capacitância e tensão:
Substituindo:
Calculando:
Comentário amigável: é alta tensão porque a capacitância é pequena e a carga é relativamente grande.
Passo 5
Energia armazenada no capacitor. Fórmula útil (derivada da energia para carregar um capacitor):
Usarei a forma com
e
para evitar recomputar
:
Calculemos
:
Agora:
Arredondando:
Passo 6
Densidade de energia (energia por volume) entre as placas. Existem duas formas equivalentes:
- dividir a energia pelo volume entre placas:
- ou usar a expressão em termos do campo elétrico:
Vou usar a forma
por ser direta com os valores que já temos.
Calculando o volume entre placas:
Então
Arredondando:
Passo 7
Agora parte (b): descarga através de um resistor. Primeiro calculemos a constante de tempo do circuito
:
Substituindo:
Calculando:
Explicação rápida:
é o tempo característico em que a tensão/corrente do capacitor decai por um fator
.
Passo 8
Equações do circuito
durante descarga (capacitor inicialmente com
):
- tensão no capacitor:
- corrente no resistor (magnitude):
Obs.: o sentido da corrente depende da polaridade; aqui forneço o valor escalar e(o sinal seria negativo se definirmos corrente de descarga como positiva no sentido de diminuição da carga).
Passo 9
Calcule o fator exponencial para
:
Então
Passo 10
Agora a diferença de potencial no capacitor em
:
Calculando:
Passo 11
Corrente no resistor em
:
Calculando:
Pequena observação motivacional: a corrente inicial era grande (alguns ampères) por causa da alta tensão e pequena resistência; depois de
já caiu para dezenas de mA.