(a) Calcule a energia de um elétron na órbita \mathrm{n}=1 (camada K ) do tungstênio, tomando Z-1 como a carga efetiva do núcleo. (b) O valor experimental desta energia é 69,5 \mathrm{keV}. Suponha que a carga nuclear efetiva é ( \mathrm{Z}-\boldsymbol{\sigma} ), onde \boldsymbol{\sigma} é a chamada constante de blindagem, e calcule o valor de \boldsymbol{\sigma} a partir do resultado experimental. (Ex. 31)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas relacionadas ao elétron da camada K (isto é, n=1) do tungstênio:
  • (a) Calcular a energia do elétron para n=1 tomando a carga nuclear efetiva igual a Z-1.
  • (b) Dado o valor experimental da energia de ligação da camada K, 69{,}5\\ \mathrm{keV}, assumir que a carga efetiva é Z-\sigma (onde \sigma é a constante de blindagem) e determinar \sigma a partir do valor experimental.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
  • Número atômico do tungstênio: Z=74.
  • Energia experimental da linha K: 69{,}5\\ \mathrm{keV}=69\,500\\ \mathrm{eV}.
  • Para (a) usamos a aproximação Z_\text{efetiva}=Z-1.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (modelo de átomo hidrogenoide/Bohr para níveis de energia):
E_n = -13{,}6\\ \mathrm{eV}\,\frac{Z_{\text{efetiva}}^{2}}{n^{2}}.
Explicação detalhada dessa fórmula:
  • E_n é a energia do elétron no nível principal n. É negativa porque é energia de ligação (o elétron está ligado ao átomo).
  • O número 13{,}6\\ \mathrm{eV} é a magnitude da energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio (valor obtido do modelo de Bohr para Z=1 e n=1).
  • Z_{\text{efetiva}} é a carga nuclear efetiva vista pelo elétron, ou seja, a carga do núcleo reduzida pela blindagem dos outros elétrons.
  • Ao aplicar esse modelo a átomos multieletrônicos estamos aproximando o sistema como se o elétron em questão “visse” um núcleo com carga reduzida (Z-\text{algo}). No item (a) o enunciado manda usar Z_{\text{efetiva}}=Z-1.
Comentário sobre a escolha Z-1:
  • É uma aproximação simples: os outros elétrons removem aproximadamente uma unidade de carga efetiva para o elétron considerado. Não é exata, mas é frequentemente usada como primeiro palpite.

Passo 3

Aplicação ao item (a). Primeiro calculemos Z_{\text{efetiva}} e depois E_{1}.
Z_{\text{efetiva}} = Z-1 = 74-1 = 73.
Agora aplicar a fórmula para n=1:
E_{1} = -13{,}6\\ \mathrm{eV}\,\frac{73^{2}}{1^{2}}.
Calcule 73^{2}:
73^{2}=73\times73=5\,329.
Multiplicando:
E_{1} = -13{,}6\times5\,329\\ \mathrm{eV}.
Façamos a multiplicação passo a passo: 13{,}6\times5\,329 pode ser feita como 10\times5\,329 + 3\times5\,329 + 0{,}6\times5\,329.
10\times5\,329=53\,290,
3\times5\,329=15\,987,
0{,}6\times5\,329=3\,197{,}4.
Somando:
13{,}6\times5\,329 = 53\,290 + 15\,987 + 3\,197{,}4 = 72\,474{,}4\\ \mathrm{eV}.
Logo
E_{1} = -72\,474{,}4\\ \mathrm{eV} = -72{,}4744\\ \mathrm{keV}\approx -72{,}47\\ \mathrm{keV}.
Interpretação rápida: a aproximação Z-1 dá uma energia de ligação de aproximadamente -72{,}47\\ \mathrm{keV} para o elétron K do tungstênio.

Passo 4

Agora o item (b): determinar a constante de blindagem \sigma usando o valor experimental |E_{1,\text{exp}}|=69{,}5\\ \mathrm{keV}=69\,500\\ \mathrm{eV}.
Partimos da mesma fórmula, mas com Z_{\text{efetiva}}=Z-\sigma:
|E_{1,\text{exp}}| = 13{,}6\\ \mathrm{eV}\,(Z-\sigma)^{2}.
Isolando (Z-\sigma):
Z-\sigma = \sqrt{\frac{|E_{1,\text{exp}}|}{13{,}6\\ \mathrm{eV}}}.
Substituindo |E_{1,\text{exp}}|=69\,500\\ \mathrm{eV}:
Z-\sigma = \sqrt{\frac{69\,500}{13{,}6}}.
Calcule a razão:
\frac{69\,500}{13{,}6} = \frac{69500}{13{,}6} = 5\,110{,}294117647\ldots
Agora a raiz quadrada. Aproximação:
\sqrt{5\,110{,}2941\ldots} \approx 71{,}4863.
Portanto
Z-\sigma \approx 71{,}4863.
Como Z=74, obtemos
\sigma = Z - 71{,}4863 = 74 - 71{,}4863 = 2{,}5137\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
\sigma \approx 2{,}51.
Comentário interpretativo: o valor encontrado de \sigma é maior que 1, ou seja, a blindagem efetiva real é mais forte que a aproximação simples Z-1. Isso explica por que o valor experimental |E| é menor (mais fraco) do que o valor obtido com Z-1.

Resposta

(a) E_{1}\approx -72{,}47\\ \mathrm{keV}.\n(b) \sigma\approx 2{,}51.

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