Em um “átomo parabólico”, um elétron tem uma energia potencial dada por
, onde
é a distância do elétron à origem. Deste modo, há uma força centrípeta agindo sobre o elétron, de módulo
. Considerando uma trajetória circular para o elétron, e utilizando a regra de quantização do momento angular de Bohr, deduza (a) as expressões analíticas para as energias e (b) os raios de órbita permitidos para este sistema.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
-
Informações fornecidas:
- A energia potencial do elétron é
, onde é a distância do elétron à origem e é uma constante positiva. - A força associada é de módulo
(direção centrípeta para uma órbita circular). - Consideramos órbitas circulares e aplicamos a regra de quantização do momento angular de Bohr.
- A energia potencial do elétron é
-
O que o enunciado pergunta:
- (a) Deduzir as expressões analíticas para as energias permitidas do elétron.
- (b) Deduzir os raios de órbita permitidos.
Nada mais será assumido neste passo; nos passos seguintes faremos a dedução passo a passo.
Passo 2
Apresentando e explicando a regra de quantização de Bohr que vamos usar.
- Regra de Bohr para o momento angular:
onde: -
é o momento angular do elétron em relação à origem, -
é a massa do elétron, -
é a velocidade tangencial na órbita circular, -
é o raio da órbita, -
é um inteiro positivo ( ), -
é a constante de Planck reduzida.
-
Explicação didática: Bohr impõe que somente órbitas cujo momento angular seja um múltiplo inteiro de
são permitidas. Isso quantiza as possíveis combinações
e
.
Passo 3
Equilíbrio de forças para uma órbita circular (explicando o porquê).
- Para movimento circular de raio
, a força centrípeta necessária é . - No nosso problema essa força centrípeta é fornecida pela força restauradora do potencial parabólico, de módulo
. - Igualando:
- Multiplicando ambos os lados por
:
Explicação didática: essa relação liga velocidade e raio para uma órbita circular sob a força
.
Passo 4
Usando a quantização do momento angular para eliminar
.
- Da regra de Bohr temos
. - Substituímos esse
em : - Calcule o quadrado e simplifique:
- Multiplicando ambos os lados por
: - Isolando
:
Explicação didática: chegamos a uma equação que nos dá
em função de
e dos parâmetros físicos
.
Passo 5
Obter explicitamente os raios permitidos
e apresentar formas alternativas convenientes.
- Tirando a raiz quarta:
- Podemos reescrever para evidenciar a dependência em
: - É útil também introduzir a frequência característica do oscilador
. Note que . Usando isso: e portanto
Explicação didática: a forma
é mais transparente porque usa a frequência
; ela mostra que
.
Passo 6
Calcular a energia total para uma órbita circular e expressá‑la em termos de
.
- Energia total é soma de cinética e potencial:
com e . - Usando a relação do Passo 3,
, obtemos: - Então ambas as parcelas valem
, logo
Explicação didática: para essa órbita circular no potencial quadrático, energia cinética e potencial são iguais, cada uma metade da energia total — resultado típico do teorema do virial para forças proporcionais a
.
Passo 7
Substituir
na expressão da energia para obter
em função de
.
- Usamos
do Passo 5 e do Passo 6: - Lembrando que
, calculamos - Assim simplifica para
Explicação didática: portanto as energias permitidas são proporcionais a
e igualmente espaçadas por
. Observe que esse resultado difere do resultado da solução completa da mecânica quântica (os níveis do oscilador harmônico quântico são
), porque aqui estamos usando a regra semiclássica de Bohr.
Passo 8
Conclusão e interpretação breve.
- Raios permitidos:
, com . - Energias permitidas:
, com e .
Observação motivadora: você conseguiu! Esses passos são diretos: (i) equilibra forças para a órbita circular, (ii) aplica a quantização
, (iii) obtém
, (iv) calcula energia. Na prova, faça esses passos na mesma ordem e explique cada igualdade — isso garante pontos e clareza.