Em um “átomo parabólico”, um elétron tem uma energia potencial dada por U=\frac{1}{2} k r^{2}, onde r é a distância do elétron à origem. Deste modo, há uma força centrípeta agindo sobre o elétron, de módulo F=k r. Considerando uma trajetória circular para o elétron, e utilizando a regra de quantização do momento angular de Bohr, deduza (a) as expressões analíticas para as energias e (b) os raios de órbita permitidos para este sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
  • Informações fornecidas:
    • A energia potencial do elétron é \displaystyle U=\frac{1}{2}k r^{2}, onde \displaystyle r é a distância do elétron à origem e \displaystyle k é uma constante positiva.
    • A força associada é de módulo \displaystyle F=k r (direção centrípeta para uma órbita circular).
    • Consideramos órbitas circulares e aplicamos a regra de quantização do momento angular de Bohr.
  • O que o enunciado pergunta:
    • (a) Deduzir as expressões analíticas para as energias permitidas do elétron.
    • (b) Deduzir os raios de órbita permitidos.
Nada mais será assumido neste passo; nos passos seguintes faremos a dedução passo a passo.

Passo 2

Apresentando e explicando a regra de quantização de Bohr que vamos usar.
  • Regra de Bohr para o momento angular: L = m v r = n \hbar,onde:
    • \displaystyle L é o momento angular do elétron em relação à origem,
    • \displaystyle m é a massa do elétron,
    • \displaystyle v é a velocidade tangencial na órbita circular,
    • \displaystyle r é o raio da órbita,
    • \displaystyle n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots),
    • \displaystyle \hbar é a constante de Planck reduzida.
Explicação didática: Bohr impõe que somente órbitas cujo momento angular seja um múltiplo inteiro de \displaystyle \hbar são permitidas. Isso quantiza as possíveis combinações v e r.

Passo 3

Equilíbrio de forças para uma órbita circular (explicando o porquê).
  • Para movimento circular de raio \displaystyle r, a força centrípeta necessária é \displaystyle F_{\text{centr}}=\frac{m v^{2}}{r}.
  • No nosso problema essa força centrípeta é fornecida pela força restauradora do potencial parabólico, de módulo \displaystyle F=k r.
  • Igualando: \frac{m v^{2}}{r} = k r.
  • Multiplicando ambos os lados por \displaystyle r: m v^{2} = k r^{2}.
Explicação didática: essa relação liga velocidade e raio para uma órbita circular sob a força F=k r.

Passo 4

Usando a quantização do momento angular para eliminar \displaystyle v.
  • Da regra de Bohr temos \displaystyle v=\frac{n\hbar}{m r}.
  • Substituímos esse \displaystyle v em \displaystyle m v^{2} = k r^{2}: m\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^{2} = k r^{2}.
  • Calcule o quadrado e simplifique: m \cdot \frac{n^{2}\hbar^{2}}{m^{2} r^{2}} = k r^{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{n^{2}\hbar^{2}}{m r^{2}} = k r^{2}.
  • Multiplicando ambos os lados por \displaystyle r^{2}: n^{2}\hbar^{2} = m k r^{4}.
  • Isolando \displaystyle r^{4}: r^{4} = \frac{n^{2}\hbar^{2}}{m k}.
Explicação didática: chegamos a uma equação que nos dá r em função de n e dos parâmetros físicos m,k,\hbar.

Passo 5

Obter explicitamente os raios permitidos \displaystyle r_{n} e apresentar formas alternativas convenientes.
  • Tirando a raiz quarta: r_{n} = \left(\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m k}\right)^{1/4}.
  • Podemos reescrever para evidenciar a dependência em n: r_{n} = n^{1/2}\left(\frac{\hbar^{2}}{m k}\right)^{1/4}.
  • É útil também introduzir a frequência característica do oscilador \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}. Note que \displaystyle \sqrt{m k}=m\omega. Usando isso: r_{n}^{2}=\left(\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m k}\right)^{1/2}=\frac{n\hbar}{\sqrt{m k}}=\frac{n\hbar}{m\omega},e portanto r_{n}=\sqrt{\frac{n\hbar}{m\omega}}.
Explicação didática: a forma \displaystyle r_{n}=\sqrt{\frac{n\hbar}{m\omega}} é mais transparente porque usa a frequência \omega; ela mostra que r_{n}\propto\sqrt{n}.

Passo 6

Calcular a energia total para uma órbita circular e expressá‑la em termos de r.
  • Energia total é soma de cinética e potencial: E = T + U,com \displaystyle T=\frac{1}{2}m v^{2} e \displaystyle U=\frac{1}{2}k r^{2}.
  • Usando a relação do Passo 3, \displaystyle m v^{2}=k r^{2}, obtemos: T=\frac{1}{2}m v^{2}=\frac{1}{2}k r^{2}.
  • Então ambas as parcelas valem \displaystyle \frac{1}{2}k r^{2}, logo E = \frac{1}{2}k r^{2} + \frac{1}{2}k r^{2} = k r^{2}.
Explicação didática: para essa órbita circular no potencial quadrático, energia cinética e potencial são iguais, cada uma metade da energia total — resultado típico do teorema do virial para forças proporcionais a r.

Passo 7

Substituir \displaystyle r_{n}^{2} na expressão da energia para obter \displaystyle E_{n} em função de n.
  • Usamos \displaystyle r_{n}^{2}=\frac{n\hbar}{m\omega} do Passo 5 e E=k r^{2} do Passo 6: E_{n} = k r_{n}^{2} = k\cdot\frac{n\hbar}{m\omega}.
  • Lembrando que \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, calculamos \frac{k}{m\omega}=\frac{k}{m\sqrt{k/m}}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega.
  • Assim simplifica para E_{n} = n\hbar\,\omega.
Explicação didática: portanto as energias permitidas são proporcionais a n e igualmente espaçadas por \displaystyle \hbar\omega. Observe que esse resultado difere do resultado da solução completa da mecânica quântica (os níveis do oscilador harmônico quântico são \displaystyle (n+\tfrac{1}{2})\hbar\omega), porque aqui estamos usando a regra semiclássica de Bohr.

Passo 8

Conclusão e interpretação breve.
  • Raios permitidos: \displaystyle r_{n}=\sqrt{\frac{n\hbar}{m\omega}}=\left(\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m k}\right)^{1/4}, com n=1,2,\dots.
  • Energias permitidas: \displaystyle E_{n}=n\hbar\omega, com \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} e n=1,2,\dots.
Observação motivadora: você conseguiu! Esses passos são diretos: (i) equilibra forças para a órbita circular, (ii) aplica a quantização m v r = n\hbar, (iii) obtém r_n, (iv) calcula energia. Na prova, faça esses passos na mesma ordem e explique cada igualdade — isso garante pontos e clareza.

Resposta

r_{n}=\left(\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m k}\right)^{1/4}=\sqrt{\frac{n\hbar}{m\omega}}\quad(n=1,2,\dots)
E_{n}=n\hbar\omega\quad\text{com}\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \quad(n=1,2,\dots)

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