Você arremessa uma bola de vôlei de massa desconhecida para cima, de forma com que ela atinja 16,0 metros de altura.
a. Calcule a velocidade do lançamento.
b. Suponha que você descubra posteriormente que a massa da bola de vôlei é de 0,26 \mathrm{~kg}. Calcule o trabalho realizado pela força gravitacional sobre a bola até que ela atinja sua altura máxima.
c. Caso a bola atinja a altura inicial de arremesso com velocidade de 15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule o trabalho realizado pela resistência do ar sobre a bola.

Passo 1

O enunciado oferece as seguintes informações e pede isto:
  • Dados fornecidos:
    • Altura máxima atingida: \,h=16{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Mais tarde é dada a massa da bola: \,m=0{,}26\\ \mathrm{kg} (apenas para a parte b e c).
    • Na parte c é informado que, ao voltar à altura inicial, a velocidade é \,v_f=15{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas do enunciado:
    a. Calcular a velocidade de lançamento (velocidade inicial \,v_i).
    b. Com \,m=0{,}26\\ \mathrm{kg}, calcular o trabalho realizado pela força gravitacional sobre a bola até a altura máxima.
    c. Se a bola volta à altura inicial com \,v_f=15{,}0\\ \mathrm{m/s}, calcular o trabalho realizado pela resistência do ar.
  • Constante física que usaremos: \,g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

a) Vamos achar a velocidade inicial \,v_i usando a cinemática de movimento com aceleração constante. A fórmula útil é a equação de Torricelli (que fica bem prática quando conhecemos deslocamento e aceleração e queremos velocidade):
v^2 = v_i^2 + 2 a \Delta y.
Expliquei: aqui v é a velocidade final (no ponto em que aplicamos a fórmula), v_i é a velocidade inicial relativa ao trecho considerado, a é a aceleração (aqui -g porque a gravidade aponta para baixo) e \Delta y é o deslocamento vertical. No nosso caso, ao atingir a altura máxima a velocidade instantânea é zero, então colocamos v=0, a aceleração é a=-g e o deslocamento para cima é \Delta y = h. Substituindo na fórmula obtemos:
0 = v_i^2 + 2(-g)h \quad\Rightarrow\quad v_i^2 = 2gh.

Passo 3

Continuando o cálculo da parte (a): calculemos numericamente
v_i = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2\cdot 9{,}80\cdot 16{,}0}.
Faço a conta passo a passo: 2\cdot 9{,}80 = 19{,}6. Então 19{,}6\cdot 16{,}0 = 313{,}6. Logo
v_i = \sqrt{313{,}6}\approx 17{,}7\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: para subir até 16{,}0\\ \mathrm{m} a partir do lançamento, a bola precisava sair com aproximadamente \,17{,}7\\ \mathrm{m/s} para cima.

Passo 4

b) Trabalho da força gravitacional até a altura máxima. Primeiro uma ideia conceitual: a força gravitacional é conservativa e o trabalho realizado por ela quando um corpo sobe uma altura h é igual a menos a variação da energia potencial gravitacional. Se tomarmos a energia potencial zero na altura de lançamento, a variação de energia potencial ao subir até h é
\Delta U = U_\text{final}-U_\text{inicial}= mgh - 0 = mgh.
O trabalho realizado pela gravidade é
W_g = -\Delta U = -mgh.
Explico a razão do sinal: a gravidade aponta para baixo enquanto o deslocamento é para cima, então a força faz trabalho negativo (retira energia cinética convertendo em energia potencial).

Passo 5

Agora o cálculo numérico da parte (b) com \,m=0{,}26\\ \mathrm{kg}:
W_g = -mgh = -0{,}26\cdot 9{,}80\cdot 16{,}0.
Faço as contas: 0{,}26\cdot 9{,}80 = 2{,}548. Multiplicando por 16{,}0 40{,}768. Portanto
W_g \approx -40{,}8\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a gravidade realizou aproximadamente -40{,}8\\ \mathrm{J} de trabalho enquanto a bola subia até a altura máxima (valor negativo porque a gravidade retirou energia cinética e a armazenou como energia potencial).

Passo 6

c) Trabalho da resistência do ar. Aqui usamos o teorema trabalho-energia (ou princípio do trabalho): o trabalho total realizado por todas as forças externas sobre um corpo é igual à variação da energia cinética do corpo:
W_{\text{tot}} = \Delta K = K_f - K_i = \tfrac{1}{2}m v_f^2 - \tfrac{1}{2}m v_i^2.
As forças externas relevantes são gravidade (conservativa) e resistência do ar (não-conservativa). Podemos escrever
W_{\text{tot}} = W_g + W_{\text{ar}}.
Mas note que estamos considerando o percurso desde a altura inicial até o retorno à mesma altura inicial. Para esse trajeto a variação da energia potencial gravitacional é zero (porque os pontos inicial e final têm mesma altura), o que implica que o trabalho da gravidade sobre esse percurso é zero (para forças conservativas o trabalho depende só dos pontos inicial e final). Assim, W_g=0 para o percurso “altura inicial → volta à mesma altura”. Logo
W_{\text{ar}} = W_{\text{tot}} = \Delta K = \tfrac{1}{2}m\big(v_f^2 - v_i^2\big).
Explico: a resistência do ar é a responsável por qualquer perda de energia mecânica (já que a gravidade não gasta energia neta entre dois pontos à mesma altura).

Passo 7

Cálculo numérico da parte (c) usando \,m=0{,}26\\ \mathrm{kg}, \,v_i\approx 17{,}7\\ \mathrm{m/s} (valor da parte a) e \,v_f=15{,}0\\ \mathrm{m/s}:
W_{\text{ar}} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}26\cdot\big(15{,}0^2 - 17{,}7^2\big).
Faço as contas passo a passo: 15{,}0^2 = 225{,}0. Usando o valor exato que obtivemos para v_i^2, que é 313{,}6, temos 17{,}7^2 aproximado por 313{,}6. Então a diferença é 225{,}0-313{,}6 = -88{,}6. Multiplicando por \tfrac{1}{2}m = 0{,}13
W_{\text{ar}} \approx 0{,}13\cdot(-88{,}6) \approx -11{,}5\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o trabalho da resistência do ar é negativo (retirou energia do sistema) e tem valor aproximado de -11{,}5\\ \mathrm{J}.

Resposta

a. v_i \approx 17{,}7\\ \mathrm{m/s}
b. W_g \approx -40{,}8\\ \mathrm{J}
c. W_{\text{ar}} \approx -11{,}5\\ \mathrm{J}

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