Um canhão pode ter a elevação de seu cano alterado, para com isso alterar o local do impacto do projétil. A velocidade de saída do tiro é de
. Use
.
a) Calcule o tempo de impacto, a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de
.
b) Calcule o tempo de impacto, a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de
.
c) Compare o alcance e o tempo dos dois disparos.
a) Calcule o tempo de impacto, a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de
b) Calcule o tempo de impacto, a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de
c) Compare o alcance e o tempo dos dois disparos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas concretas.
Dados fornecidos:
.
.
Há três perguntas: para um disparo com inclinação e para
devemos calcular, separadamente, o tempo de impacto (tempo de voo), a altura máxima e o alcance horizontal. Depois (c) comparar alcance e tempo dos dois disparos.
Há três perguntas: para um disparo com inclinação
O que o enunciado pede:
- (a) Para
: tempo de impacto, altura máxima, alcance. - (b) Para
: tempo de impacto, altura máxima, alcance. - (c) Comparar os alcances e os tempos dos dois disparos.
Todas as quantidades pedidas são relativas a um projétil lançado do mesmo nível do solo e que volta ao mesmo nível (sem resistência do ar), portanto usaremos as fórmulas clássicas do movimento retilíneo uniformemente variado na direção vertical e do movimento retilíneo uniforme na direção horizontal.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
- Decomposição da velocidade inicial:
A velocidade inicialfaz um ângulo com a horizontal. Separa-se em componentes horizontal e vertical:
Explicação:
é a razão da projeção horizontal sobre a hipotenusa num triângulo retângulo;
é a razão da projeção vertical sobre a hipotenusa. Assim multiplicamos
por essas razões para obter as componentes.
- Equação do movimento vertical:
A posição vertical(com origem no ponto de lançamento) é dada por:
O projétil retorna ao solo quando
(além de
). Substituindo e resolvendo, obtemos o tempo de voo total
:
Da solução não trivial vem:
Explicação: a equação é quadrática em
; uma raiz é
(no lançamento) e a outra é o tempo quando volta ao mesmo nível.
- Altura máxima:
A altura máximaocorre quando a velocidade vertical instantânea zera. A velocidade vertical é
No instante do pico
temos
, então
Substituindo
na expressão de
obtemos
Explicação: é a relação clássica que vem de energia ou do movimento vertical — quanto maior
, maior a altura.
- Alcance horizontal:
O movimento horizontal é uniforme com velocidade. O alcance (distância horizontal percorrida até voltar ao nível inicial) é:
Explicação: usamos a identidade trigonométrica
. Assim o alcance depende de
e do quadrado da velocidade inicial.
Resumo das fórmulas que aplicaremos:
Passo 3
Cálculos para
(parte a), com tudo detalhado.
Valores trigonométricos úteis:
- Componentes da velocidade inicial:
- Tempo de voo
:
Explicação: dobramos a componente vertical e dividimos por
.
- Altura máxima
:
Mostrei o quadrado de
e a divisão passo a passo.
- Alcance
:
Usando:
Se quisermos aproximação numérica,
, então
Também poderia-se obter
pela fórmula
:
, mesma coisa.
Passo 4
Cálculos para
(parte b), com detalhamento.
Valores trigonométricos úteis:
- Componentes da velocidade inicial:
- Tempo de voo
:
Aproximação numérica:
então
- Altura máxima
:
- Alcance
:
Usando:
Aproximação numérica:
Observação: obten-se o mesmo valor de
que para
porque
é igual para
e
(pois
e
, e
).
Passo 5
Comparação entre os dois disparos (parte c) e interpretação física curta.
- Alcance:
Os alcances são iguais. Explicação física: para um dado
e terreno plano, os ângulos
e
produzem o mesmo alcance porque
.
- Tempo de voo:
O disparo a
tem tempo de voo maior — ele sobe mais e demora mais a cair, por ter componente vertical maior (
maior).
- Altura máxima:
O disparo a
alcança altura máxima maior porque sua componente vertical inicial é maior.
Resumo físico-intuítivo: ângulos complementares (30° e 60°) dão mesmo alcance, mas o tiro mais inclinado (60°) sobe mais alto e fica mais tempo no ar; o tiro mais raso (30°) tem menor altura máxima e tempo de voo, porém percorre a mesma distância horizontal.
Resposta
(a)
(b)
(c) Alcances iguais ( ); tempo maior para
(
vs
); altura máxima maior para
(
vs
).
(b)
(c) Alcances iguais (