Um canhão pode ter a elevação de seu cano alterado, para com isso alterar o local do impacto do projétil. A velocidade de saída do tiro é de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Use g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
a) Calcule o tempo de impacto, a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de 30^{\circ}.
b) Calcule o tempo de impacto, a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de 60^{\circ}.
c) Compare o alcance e o tempo dos dois disparos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas concretas.
Dados fornecidos:
v_{0}=300\\ \mathrm{m/s}.
g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Há três perguntas: para um disparo com inclinação \theta=30^\circ e para \theta=60^\circ devemos calcular, separadamente, o tempo de impacto (tempo de voo), a altura máxima e o alcance horizontal. Depois (c) comparar alcance e tempo dos dois disparos.
O que o enunciado pede:
  • (a) Para \theta=30^\circ: tempo de impacto, altura máxima, alcance.
  • (b) Para \theta=60^\circ: tempo de impacto, altura máxima, alcance.
  • (c) Comparar os alcances e os tempos dos dois disparos.
Todas as quantidades pedidas são relativas a um projétil lançado do mesmo nível do solo e que volta ao mesmo nível (sem resistência do ar), portanto usaremos as fórmulas clássicas do movimento retilíneo uniformemente variado na direção vertical e do movimento retilíneo uniforme na direção horizontal.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
  1. Decomposição da velocidade inicial:
    A velocidade inicial v_{0} faz um ângulo \theta com a horizontal. Separa-se em componentes horizontal e vertical:
v_{0x} = v_{0}\cos\theta
v_{0y} = v_{0}\sin\theta
Explicação: \cos\theta é a razão da projeção horizontal sobre a hipotenusa num triângulo retângulo; \sin\theta é a razão da projeção vertical sobre a hipotenusa. Assim multiplicamos v_{0} por essas razões para obter as componentes.
  1. Equação do movimento vertical:
    A posição vertical y(t) (com origem y=0 no ponto de lançamento) é dada por:
y(t)=v_{0y}\,t - \frac{1}{2} g t^{2}.
O projétil retorna ao solo quando y(t)=0 (além de t=0). Substituindo e resolvendo, obtemos o tempo de voo total T:
0 = v_{0y}T - \frac{1}{2} g T^{2}\quad\Rightarrow\quad T\left(v_{0y}-\frac{1}{2}gT\right)=0.
Da solução não trivial vem:
T = \frac{2v_{0y}}{g}.
Explicação: a equação é quadrática em t; uma raiz é t=0 (no lançamento) e a outra é o tempo quando volta ao mesmo nível.
  1. Altura máxima:
    A altura máxima H ocorre quando a velocidade vertical instantânea zera. A velocidade vertical é
v_{y}(t)=v_{0y}-g t.
No instante do pico t_{p} temos v_{y}(t_{p})=0, então
t_{p}=\frac{v_{0y}}{g}.
Substituindo t_{p} na expressão de y(t) obtemos
H = v_{0y}t_{p} - \frac{1}{2}g t_{p}^{2} = \frac{v_{0y}^{2}}{2g}.
Explicação: é a relação clássica que vem de energia ou do movimento vertical — quanto maior v_{0y}, maior a altura.
  1. Alcance horizontal:
    O movimento horizontal é uniforme com velocidade v_{0x}. O alcance R (distância horizontal percorrida até voltar ao nível inicial) é:
R = v_{0x} \, T = v_{0}\cos\theta \cdot \frac{2v_{0}\sin\theta}{g} = \frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}.
Explicação: usamos a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Assim o alcance depende de \sin(2\theta) e do quadrado da velocidade inicial.
Resumo das fórmulas que aplicaremos:
v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\quad v_{0y}=v_{0}\sin\theta,
T=\frac{2v_{0y}}{g},
H=\frac{v_{0y}^{2}}{2g},
R=\frac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}=\;v_{0x}\,T.

Passo 3

Cálculos para \theta=30^\circ (parte a), com tudo detalhado.
Valores trigonométricos úteis:
\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2},\qquad \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(2\cdot 30^\circ)=\sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  1. Componentes da velocidade inicial:
v_{0y}=v_{0}\sin 30^\circ = 300\cdot \tfrac{1}{2} = 150\\ \mathrm{m/s}.
v_{0x}=v_{0}\cos 30^\circ = 300\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Tempo de voo T:
T=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2\cdot 150}{10}=\frac{300}{10}=30\\ \mathrm{s}.
Explicação: dobramos a componente vertical e dividimos por g.
  1. Altura máxima H:
H=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}=\frac{150^{2}}{2\cdot 10}=\frac{22500}{20}=1125\\ \mathrm{m}.
Mostrei o quadrado de 150 e a divisão passo a passo.
  1. Alcance R:
    Usando R=v_{0x}\,T:
R = 150\sqrt{3}\cdot 30 = 4500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
Se quisermos aproximação numérica, \sqrt{3}\approx 1{,}73205, então
R \approx 4500\cdot 1{,}73205 \approx 7794{,}23\\ \mathrm{m}.
Também poderia-se obter R pela fórmula v_{0}^{2}\sin 2\theta/g: \,R=\dfrac{300^{2}\cdot (\sqrt{3}/2)}{10}=4500\sqrt{3}, mesma coisa.

Passo 4

Cálculos para \theta=60^\circ (parte b), com detalhamento.
Valores trigonométricos úteis:
\sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2},\qquad \sin(2\cdot 60^\circ)=\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  1. Componentes da velocidade inicial:
v_{0y}=v_{0}\sin 60^\circ = 300\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
v_{0x}=v_{0}\cos 60^\circ = 300\cdot \tfrac{1}{2} = 150\\ \mathrm{m/s}.
  1. Tempo de voo T:
T=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2\cdot 150\sqrt{3}}{10}=\frac{300\sqrt{3}}{10}=30\sqrt{3}\\ \mathrm{s}.
Aproximação numérica: \sqrt{3}\approx 1{,}73205 então
T\approx 30\cdot 1{,}73205 \approx 51{,}96\\ \mathrm{s}.
  1. Altura máxima H:
H=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}=\frac{(150\sqrt{3})^{2}}{2\cdot 10}=\frac{22500\cdot 3}{20}=\frac{67500}{20}=3375\\ \mathrm{m}.
  1. Alcance R:
    Usando R=v_{0x}\,T:
R=150\cdot 30\sqrt{3}=4500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
Aproximação numérica:
R\approx 4500\cdot 1{,}73205 \approx 7794{,}23\\ \mathrm{m}.
Observação: obten-se o mesmo valor de R que para \theta=30^\circ porque \sin(2\theta) é igual para \theta=30^\circ e \theta=60^\circ (pois 2\cdot 30^\circ =60^\circ e 2\cdot 60^\circ =120^\circ, e \sin 120^\circ=\sin 60^\circ).

Passo 5

Comparação entre os dois disparos (parte c) e interpretação física curta.
  1. Alcance:
R_{30^\circ}=4500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}=R_{60^\circ}.
Os alcances são iguais. Explicação física: para um dado v_{0} e terreno plano, os ângulos \theta e 90^\circ-\theta produzem o mesmo alcance porque \sin(2\theta)=\sin(2(90^\circ-\theta)).
  1. Tempo de voo:
T_{30^\circ}=30\\ \mathrm{s},\qquad T_{60^\circ}=30\sqrt{3}\\ \mathrm{s}\approx 51{,}96\\ \mathrm{s}.
O disparo a 60^\circ tem tempo de voo maior — ele sobe mais e demora mais a cair, por ter componente vertical maior ( v_{0y} maior).
  1. Altura máxima:
H_{30^\circ}=1125\\ \mathrm{m},\qquad H_{60^\circ}=3375\\ \mathrm{m}.
O disparo a 60^\circ alcança altura máxima maior porque sua componente vertical inicial é maior.
Resumo físico-intuítivo: ângulos complementares (30° e 60°) dão mesmo alcance, mas o tiro mais inclinado (60°) sobe mais alto e fica mais tempo no ar; o tiro mais raso (30°) tem menor altura máxima e tempo de voo, porém percorre a mesma distância horizontal.

Resposta

(a) T=30\\ \mathrm{s},\quad H=1125\\ \mathrm{m},\quad R=4500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx 7794{,}23\\ \mathrm{m}.
(b) T=30\sqrt{3}\\ \mathrm{s}\approx 51{,}96\\ \mathrm{s},\quad H=3375\\ \mathrm{m},\quad R=4500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx 7794{,}23\\ \mathrm{m}.
(c) Alcances iguais ( R_{30^\circ}=R_{60^\circ}); tempo maior para 60^\circ ( 30\sqrt{3}\\ \mathrm{s} vs 30\\ \mathrm{s}); altura máxima maior para 60^\circ ( 3375\\ \mathrm{m} vs 1125\\ \mathrm{m}).

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