Seja esta solução da eq. de Schroedinger independente do tempo para uma partícula de massa m em um poço de potencial de barreira infinita, e potencial nulo dentro do poço:
\psi(x)=\left\{\begin{array}{l} A \operatorname{sen}(4 \pi x / a), \quad-\frac{a}{2}<x<\frac{a}{2} \\\\ 0, \quad x<-\frac{a}{2} \text { ou } x>\frac{a}{2} \end{array}\right.
a) Obtenha o valor de A.
b) Calcule o valor esperado de p^{2} para uma partícula neste estado.
c) Calcule a energia da partícula neste estado.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda estacionária
\psi(x)=\begin{cases} A\,\sin\!\left(\dfrac{4\pi x}{a}\right), & -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2},\\[6pt] 0, & x\le -\dfrac{a}{2}\\ \text{ou}\\ x\ge \dfrac{a}{2}. \end{cases}
Informações relevantes que extraí do enunciado:
\psi(x)\\ \text{é nula fora do poço}\\ [-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}], \qquad\text{e dentro do poço tem a forma}\\ A\sin\!\left(\tfrac{4\pi x}{a}\right).éçç
As perguntas pedem:
a) determinar a constante de normalização A;
b) calcular o valor esperado de p^{2}, isto é \langle p^{2}\rangle;
c) calcular a energia da partícula neste estado.]

Passo 2

Normalização: lembrar que a função de onda deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}\,dx=1.
Como \psi(x)=0 fora do intervalo \left[-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right], isso vira
\int_{-a/2}^{a/2} A^{2}\sin^{2}\!\left(\tfrac{4\pi x}{a}\right)\,dx = 1.
Para integrar \sin^{2}, uso a identidade
\sin^{2}\theta = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2\theta)\big).
Aplicando com \theta=\tfrac{4\pi x}{a} obtemos
\sin^{2}\!\left(\tfrac{4\pi x}{a}\right)=\tfrac{1}{2}\Big(1-\cos\!\big(\tfrac{8\pi x}{a}\big)\Big).

Passo 3

Faço a integral usando a identidade:
\int_{-a/2}^{a/2}\sin^{2}\!\left(\tfrac{4\pi x}{a}\right)\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{-a/2}^{a/2}dx \;-\; \tfrac{1}{2}\int_{-a/2}^{a/2}\cos\!\left(\tfrac{8\pi x}{a}\right)\,dx.
A primeira integral é \tfrac{1}{2}\cdot a. A segunda integral é
\tfrac{1}{2}\left[\frac{a}{8\pi}\sin\!\left(\tfrac{8\pi x}{a}\right)\right]_{-a/2}^{a/2}.
Mas \sin\!\left(\tfrac{8\pi}{a}\cdot \tfrac{a}{2}\right)=\sin(4\pi)=0 e também no limite inferior dá 0, logo a segunda integral é zero. Portanto
\int_{-a/2}^{a/2}\sin^{2}\!\left(\tfrac{4\pi x}{a}\right)\,dx = \tfrac{a}{2}.

Passo 4

Usando o resultado da integral na condição de normalização:
A^{2}\cdot \frac{a}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad A^{2}=\frac{2}{a} \quad\Longrightarrow\quad A=\sqrt{\frac{2}{a}}.
(escolhemos a raiz positiva porque A é um fator de amplitude; sinal global não importa.)

Passo 5

Operador momento e momento ao quadrado: o operador momento em uma dimensão é
\hat p = -\,i\hbar\frac{d}{dx},
então o operador \hat p^{2} é
\hat p^{2} = -\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}.
O valor esperado de p^{2} é
\langle p^{2}\rangle = \int_{-a/2}^{a/2}\psi^{*}(x)\,\big(-\hbar^{2}\psi''(x)\big)\,dx.
Uma forma mais rápida: se \psi(x) satisfaz \psi''(x)=-k^{2}\psi(x) (onda estacionária sinusoidal), então -\hbar^{2}\psi''=\hbar^{2}k^{2}\psi e, como \psi está normalizada, \langle p^{2}\rangle=\hbar^{2}k^{2}.

Passo 6

Identifico k da função dada: a função é \sin\!\big(\tfrac{4\pi x}{a}\big), logo
k=\frac{4\pi}{a}.
Verifico que
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\sin(kx)=-k^{2}\sin(kx),
portanto
\langle p^{2}\rangle = \hbar^{2}k^{2} = \hbar^{2}\left(\frac{4\pi}{a}\right)^{2} = \frac{16\pi^{2}\hbar^{2}}{a^{2}}.

Passo 7

Energia: dentro do poço o potencial é nulo, então a energia cinética é a energia total e vale
E=\frac{\langle p^{2}\rangle}{2m}.
Substituindo \langle p^{2}\rangle obtemos
E = \frac{1}{2m}\cdot \frac{16\pi^{2}\hbar^{2}}{a^{2}} = \frac{8\pi^{2}\hbar^{2}}{m a^{2}}.
Também podemos ver que esse estado corresponde ao modo com número de onda k=4\pi/a, que equivale ao estado com n=2 do poço simétrico (pois para o poço centrado k=2n\pi/a) — só para interpretação.

Resposta

A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}
\langle p^{2}\rangle=\dfrac{16\pi^{2}\hbar^{2}}{a^{2}}
E=\dfrac{8\pi^{2}\hbar^{2}}{m a^{2}}

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