Seja esta solução da eq. de Schroedinger independente do tempo para uma partícula de massa m em um poço de potencial de barreira infinita, e potencial nulo dentro do poço:
\psi(x)=\left\{\begin{array}{l} A \operatorname{sen}(4 \pi x / a), \quad-\frac{a}{2}<x<\frac{a}{2} \\\\ 0, \quad x<-\frac{a}{2} \text { ou } x>\frac{a}{2} \end{array}\right.
a) Obtenha o valor de A.
b) Calcule o valor esperado de p^{2} para uma partícula neste estado.
c) Calcule a energia da partícula neste estado.
\psi(x)\\ \text{é nula fora do poço}\\ [-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}], \qquad\text{e dentro do poço tem a forma}\\ A\sin\!\left(\tfrac{4\pi x}{a}\right).éçç
As perguntas pedem:
a) determinar a constante de normalização A;
b) calcular o valor esperado de p^{2}, isto é \langle p^{2}\rangle;
c) calcular a energia da partícula neste estado.]
Passo 2
Normalização: lembrar que a função de onda deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}\,dx=1.
Como \psi(x)=0 fora do intervalo \left[-\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}\right], isso vira
Uma forma mais rápida: se \psi(x) satisfaz \psi''(x)=-k^{2}\psi(x) (onda estacionária sinusoidal), então -\hbar^{2}\psi''=\hbar^{2}k^{2}\psi e, como \psi está normalizada, \langle p^{2}\rangle=\hbar^{2}k^{2}.
Passo 6
Identifico k da função dada: a função é \sin\!\big(\tfrac{4\pi x}{a}\big), logo
Energia: dentro do poço o potencial é nulo, então a energia cinética é a energia total e vale
E=\frac{\langle p^{2}\rangle}{2m}.
Substituindo \langle p^{2}\rangle obtemos
E = \frac{1}{2m}\cdot \frac{16\pi^{2}\hbar^{2}}{a^{2}} = \frac{8\pi^{2}\hbar^{2}}{m a^{2}}.
Também podemos ver que esse estado corresponde ao modo com número de onda k=4\pi/a, que equivale ao estado com n=2 do poço simétrico (pois para o poço centrado k=2n\pi/a) — só para interpretação.