Os átomos de hidrogênio absorvem energia para que os elétrons sejam excitados ao nível de energia n= 7. Os elétrons então passam por estas transições: (1) n=7 \rightarrow n=1; (2) n=7 \rightarrow n=2; (3) n=2 \rightarrow n=1. Qual dessas transições produzirá o fóton com (a) a menor energia; (b) a maior frequência; (c) o menor comprimento de onda? (d) Qual é a frequência de um fóton resultante da transição n=6 \rightarrow n=1 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de transições eletrônicas num átomo de hidrogênio excitado ao nível n=7 e pede para comparar as energias, frequências e comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições
(1) n=7\to n=1
(2) n=7\to n=2
(3) n=2\to n=1
e ainda calcular a frequência de um fóton da transição n=6\to n=1. Vamos usar a fórmula dos níveis de energia e a relação entre energia, frequência e comprimento de onda de um fóton.

Passo 2

Os níveis de energia do átomo de hidrogênio são dados por
E_n = -\frac{13{,}6\:\mathrm{eV}}{n^2}.
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E_7 = -\frac{13{,}6}{49} = -0{,}2776\:\mathrm{eV},\quad E_2 = -\frac{13{,}6}{4} = -3{,}4\:\mathrm{eV},\quad E_1 = -13{,}6\:\mathrm{eV}.
A energia do fóton emitido é
E_{\text{fóton}} = \bigl|E_{\text{final}} - E_{\text{inicial}}\bigr|.ó
Calculando cada transição:
E_{7\to1} = \bigl|-13{,}6 -(-0{,}2776)\bigr| = 13{,}3224\:\mathrm{eV},
E_{7\to2} = \bigl|-3{,}4 -(-0{,}2776)\bigr| = 3{,}1224\:\mathrm{eV},
E_{2\to1} = \bigl|-13{,}6 -(-3{,}4)\bigr| = 10{,}2\:\mathrm{eV}.

Passo 3

A partir desses valores:
– A menor energia emitida é 3{,}1224\:\mathrm{eV}, correspondente à transição 7\to2.
– A maior frequência corresponde à maior energia, que é 13{,}3224\:\mathrm{eV} da transição 7\to1.
– O menor comprimento de onda também vem da maior energia, portanto novamente da transição 7\to1, pois \lambda = \tfrac{hc}{E_{\text{fóton}}}ó diminui quando E_{\text{fóton}}ó cresce.

Passo 4

Para a transição 6\to1:
E_6 = -\frac{13{,}6}{36} = -0{,}3778\:\mathrm{eV},
E_{6\to1} = \bigl|-13{,}6 -(-0{,}3778)\bigr| = 13{,}2222\:\mathrm{eV}.
Convertendo para joules 1\:\mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\:\mathrm{J}:
E_{6\to1} = 13{,}2222\times1{,}602\times10^{-19} = 2{,}1185\times10^{-18}\:\mathrm{J}.
A frequência é dada por \nu = \tfrac{E}{h}, com h=6{,}626\times10^{-34}\:\mathrm{J\,s}:
\nu = \frac{2{,}1185\times10^{-18}}{6{,}626\times10^{-34}} \approx3{,}20\times10^{15}\:\mathrm{Hz}.

Resposta

(a) Menor energia: transição n=7\to n=2.
(b) Maior frequência: transição n=7\to n=1.
(c) Menor comprimento de onda: transição n=7\to n=1.
(d) Frequência para n=6\to n=1: \nu\approx3,20\times10^{15}\:\mathrm{Hz}.

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