Átomos em uma ligação química vibram em torno do comprimento de ligação no equilíbrio. Um átomo que sofre um movimento vibracional é descrito pela função de onda (não normalizada) psi(x)=N e^-x^2 / 2 a^2, em que a é uma constante e -infty.
Normalize essa função de onda.
Dica: Integral gaussiana: integral-infty^infty e^-alpha x^2 d x=raizpialpha

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a função de onda (ainda não normalizada) é
psi(x) = N,e^-x^2/(2a^2), -infty < x < infty,
onde é uma constante e é uma constante de normalização que a gente precisa achar.
Matéria: Mecânica Quântica – normalização de funções de onda.
O que precisamos:
  1. Entender o que significa “normalizar” (probabilidade total = 1).
  2. Usar a condição .
  3. Aplicar a integral gaussiana dada na dica.

Passo 2

Primeiro, escreve a condição de normalização:
integral-infty^infty |psi(x)|^2,dx = 1
Como integral-infty^infty l(N,e^-x^2/(2a^2)r)^2 dx = N^2 integral-infty^infty e^-x^2/a^2,dx = 1 é real nessa forma, . Então:

Passo 3

Agora aplicamos a integral gaussiana. Note que
e^-x^2/a^2 = e^-alpha x^2 com alpha = 1a^2
Pela dica,
integral-infty^infty e^-alpha x^2,dx = raizpialpha = raizpi,a^2 = araizpi
Logo:
N^2 integral-infty^infty e^-x^2/a^2,dx = N^2,araizpi = 1

Passo 4

Isolando N^2 = 1araizpi Longrightarrow N = 1raizaraizpi = 1a^1/2,pi^1/4 :
Geralmente a gente escolhe .

Resposta

A função de onda normalizada é
boxed psi(x) = 1a^1/2,pi^1/4;e^-x^22a^2

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