A função de onda (não normalizada) de um certo estado excitado do átomo de H é:
psi(r)=N(2-ra0) e^-r / a0
Normalize a função de onda acima, ou seja, determine N.
Dica: integral0^infty r^n e^-alpha r d r=n!/ alpha^n+1.
Repare que aqui estamos utilizando coordenadas esféricas (3D). Assim, d tau=r^2 sin theta d r d theta d phi, com 0 <= r <= infty, 0 <= theta <= pi e 0 <= phi <= 2 pi. Repare ainda que integral0^2 pi d phi integral0^pi sin theta d theta=4 pi.

Passo 1

Resumo do Exercício:
Queremos normalizar a função de onda psi(r) = N (2 - ra0) e^-r / a0 para um estado excitado do átomo de Hidrogênio. Normalizar significa encontrar o valor da constante N tal que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1. Usaremos conceitos de funções de onda em coordenadas esféricas e integrais envolvendo exponenciais.

Passo 2

Condição de Normalização:
A condição para normalizar a função de onda é:
integral |psi(r)|^2 dtau = 1
Onde dtau é o elemento de volume em coordenadas esféricas, dado por:
dtau = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi
Como a função de onda psi(r) depende apenas da distância r e não dos ângulos theta e phi, podemos separar a integral em partes radiais e angulares.

Passo 3

Separando as Integrais:
A integral de normalização fica:
integral |psi(r)|^2 dtau = N^2 integral0^infty (2 - ra0)^2 e^-2r / a0 r^2 dr cdot integral0^2pi dphi integral0^pi sin theta , dtheta = 1
Sabemos que:
integral0^2pi dphi integral0^pi sin theta , dtheta = 4pi
Portanto, a condição de normalização simplifica para:
N^2 cdot 4pi integral0^infty (2 - ra0)^2 e^-2r / a0 r^2 dr = 1

Passo 4

Expandindo o Quadrado:
Vamos expandir (2 - ra0)^2:
(2 - ra0)^2 = 4 - 4ra0 + r^2a0^2
Substituindo na integral:
N^2 cdot 4pi integral0^infty (4 - 4ra0 + r^2a0^2) e^-2r / a0 r^2 dr = 1

Passo 5

Distribuindo o r^2:
Multiplicamos cada termo dentro da integral por r^2:
N^2 cdot 4pi [4 integral0^infty r^2 e^-2r / a0 dr - 41a0 integral0^infty r^3 e^-2r / a0 dr + 1a0^2 integral0^infty r^4 e^-2r / a0 dr] = 1

Passo 6

Calculando as Integrais:
Usamos a dica fornecida:
integral0^infty r^n e^-alpha r dr = n!alpha^n+1
Aqui, alpha = 2a0. Calculamos cada integral:
  1. Para n = 2:
integral0^infty r^2 e^-2r / a0 dr = 2!(2a0)^3 = 28a0^3 = a0^34
  1. Para n = 3:
integral0^infty r^3 e^-2r / a0 dr = 3!(2a0)^4 = 616a0^4 = 3a0^48
  1. Para n = 4:
integral0^infty r^4 e^-2r / a0 dr = 4!(2a0)^5 = 2432a0^5 = 3a0^54

Passo 7

Substituindo e Simplificando:
Substituímos as integrais calculadas na expressão:
N^2 cdot 4pi [4 cdot a0^34 - 41a0 cdot 3a0^48 + 1a0^2 cdot 3a0^54] = 1
Simplificando cada termo:
4 cdot a0^34 = a0^3
-4 cdot 1a0 cdot 3a0^48 = -12a0^38 = -3a0^32
1a0^2 cdot 3a0^54 = 3a0^34
Somando os termos:
a0^3 - 3a0^32 + 3a0^34 = 4a0^3 - 6a0^3 + 3a0^34 = a0^34
Então, a equação fica:
N^2 cdot 4pi cdot a0^34 = N^2 cdot pi a0^3 = 1
Resolvendo para N^2:
N^2 = 1pi a0^3
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
N = 1raizpi , a0^3/2

Resposta

A constante de normalização é:
N = 1raizpi , a0^3/2

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