A função de onda (não normalizada) de um certo estado excitado do átomo de H é:
Normalize a função de onda acima, ou seja, determine
.
Dica:
.
Repare que aqui estamos utilizando coordenadas esféricas (3D). Assim,
, com
e
. Repare ainda que
.
Dica:
Repare que aqui estamos utilizando coordenadas esféricas (3D). Assim,
Passo 1
Resumo do Exercício:
Queremos normalizar a função de onda para um estado excitado do átomo de Hidrogênio. Normalizar significa encontrar o valor da constante
tal que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1. Usaremos conceitos de funções de onda em coordenadas esféricas e integrais envolvendo exponenciais.
Queremos normalizar a função de onda
Passo 2
Condição de Normalização:
A condição para normalizar a função de onda é:
A condição para normalizar a função de onda é:
Onde
é o elemento de volume em coordenadas esféricas, dado por:
Como a função de onda
depende apenas da distância
e não dos ângulos
e
, podemos separar a integral em partes radiais e angulares.
Passo 3
Separando as Integrais:
A integral de normalização fica:
A integral de normalização fica:
Sabemos que:
Portanto, a condição de normalização simplifica para:
Passo 4
Expandindo o Quadrado:
Vamos expandir :
Vamos expandir
Substituindo na integral:
Passo 5
Distribuindo o
:
Multiplicamos cada termo dentro da integral por :
Multiplicamos cada termo dentro da integral por
Passo 6
Calculando as Integrais:
Usamos a dica fornecida:
Usamos a dica fornecida:
Aqui,
. Calculamos cada integral:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Substituindo e Simplificando:
Substituímos as integrais calculadas na expressão:
Substituímos as integrais calculadas na expressão:
Simplificando cada termo:
Somando os termos:
Então, a equação fica:
Resolvendo para
:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A constante de normalização é: