Suponha que o estado do átomo em vibração no problema anterior é descrito pela função de onda psi(x)=N x e^-x^2 / 2 a^2. Qual é a posição mais provável de encontrar a partícula?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função de onda é

e a pergunta é: “Qual a posição mais provável de encontrar a partícula?”
Aqui o conteúdo é Mecânica Quântica, especificamente como extrair a distribuição de probabilidade a partir de uma função de onda e achar seu máximo. Vamos precisar:
  1. Montar a densidade de probabilidade .
  2. Usar cálculo (derivada) para achar onde é máxima.

Passo 2

Primeiro, a densidade de probabilidade em P(x) ;=; |psi(x)|^2 ;=; l(N,x,e^-x^2/(2a^2)r);l(N,x,e^-x^2/(2a^2)r)^* ;=; N^2,x^2,e^-x^2/a^2 é
Explicando: a probabilidade de achar a partícula entre e é . O fator some quando a gente achar o máximo, então fica tranquilo.

Passo 3

Pra encontrar o máximo, a gente deriva dPdx =ddxl(N^2,x^2,e^-x^2/a^2r) =N^2,ddxl(x^2 e^-x^2/a^2r) em relação a ddx(x^2),e^-x^2/a^2 + x^2,ddx(e^-x^2/a^2) =2x,e^-x^2/a^2 + x^2,e^-x^2/a^2l(-tfrac2xa^2r) =2x,e^-x^2/a^2l(1 - tfracx^2a^2r) e iguala a zero:
dPdx = N^2,2x,e^-x^2/a^2l(1 - tfracx^2a^2r) ;=;0
Só precisamos derivar 2x,e^-x^2/a^2l(1 - tfracx^2a^2r)=0 ;longrightarrow; x=0 ou 1 - tfracx^2a^2=0,l(Rightarrow x^2=a^2r) :
Então
implica

Passo 4

Temos três candidatos: P(pm a)=N^2,a^2,e^-a^2/a^2 =N^2,a^2,e^-1, , e .
  • Em , .
  • Em , que é maior que zero. Logo, os pontos são máximos locais e é mínimo local.

Resposta

A posição mais provável de encontrar a partícula é em ou em .

Exercícios relacionados