Átomos em uma ligação química vibram em torno do comprimento de ligação no equilíbrio. Um átomo que sofre um movimento vibracional é descrito pela função de onda (não normalizada)
, em que
é uma constante e
.
Calcule a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo
.
Dica: A integral encontrada na parte (b) está relacionada com a função erro: erf(z)=
. Isso significa que você pode deixar a sua resposta em termos da função erro de um número (
é um número!). Consulte em uma tabela (google) quanto vale a função erro para o valor de
encontrado. Repare ainda que a integral encontrada no problema envolve uma função par, desta forma, o quê pode ser feito com os limites de integração originais?
Calcule a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo
Dica: A integral encontrada na parte (b) está relacionada com a função erro: erf(z)=
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre átomos que vibram em torno do comprimento de ligação equilibrado em uma ligação química. A função de onda que descreve o movimento vibracional é dada por
, onde
é uma constante e
. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e a função erro, que está ligada à distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é dada pela integral do quadrado da função de onda
nesse intervalo. Ou seja:
Como a função
é real, podemos simplificar
para
:
Passo 3
Agora, vamos abordar a constante
. Como a função de onda deve ser normalizada em todo o espaço, temos que:
Substituindo
na equação:
Sabemos que a integral de uma função gaussiana é relacionada à raiz de π multiplicada pela constante da exponencial. Especificamente:
Então:
Passo 4
Agora que temos
, podemos voltar à expressão da probabilidade:
Passo 5
Observando que a função
é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y, podemos simplificar a integral de
a
como o dobro da integral de
a
:
Passo 6
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja
, então
e
. Substituindo na integral:
Passo 7
A integral
está relacionada à função erro, definida como:
Portanto, nossa expressão de probabilidade fica:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
é igual a
, que aproximadamente vale 0,8427.