Átomos em uma ligação química vibram em torno do comprimento de ligação no equilíbrio. Um átomo que sofre um movimento vibracional é descrito pela função de onda (não normalizada) psi(x)=N e^-x^2 / 2 a^2, em que a é uma constante e -infty.
Calcule a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo -a <= x <= a.
Dica: A integral encontrada na parte (b) está relacionada com a função erro: erf(z)= 2raizpi integral0^z e^-t^2 d t. Isso significa que você pode deixar a sua resposta em termos da função erro de um número ( z é um número!). Consulte em uma tabela (google) quanto vale a função erro para o valor de z encontrado. Repare ainda que a integral encontrada no problema envolve uma função par, desta forma, o quê pode ser feito com os limites de integração originais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre átomos que vibram em torno do comprimento de ligação equilibrado em uma ligação química. A função de onda que descreve o movimento vibracional é dada por psi(x) = N e^-x^2/(2 a^2), onde a é uma constante e -∞ < x < ∞. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre -a e a. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e a função erro, que está ligada à distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo específico é dada pela integral do quadrado da função de onda psi(x) nesse intervalo. Ou seja:
P = integral-a^a |psi(x)|^2 dx
Como a função psi(x) é real, podemos simplificar |psi(x)|^2 para psi(x)^2:
P = integral-a^a N^2 e^-x^2/a^2 dx

Passo 3

Agora, vamos abordar a constante N. Como a função de onda deve ser normalizada em todo o espaço, temos que:
integral-∞^∞ psi(x)^2 dx = 1
Substituindo psi(x) na equação:
N^2 integral-∞^∞ e^-x^2/a^2 dx = 1
Sabemos que a integral de uma função gaussiana é relacionada à raiz de π multiplicada pela constante da exponencial. Especificamente:
integral-∞^∞ e^-x^2/a^2 dx = a raizpi
Então:
N^2 a raizpi = 1 Rightarrow N^2 = 1a raizpi Rightarrow N = 1raiza raizpi

Passo 4

Agora que temos N, podemos voltar à expressão da probabilidade:
P = integral-a^a 1a raizpi e^-x^2/a^2 dx = 1a raizpi integral-a^a e^-x^2/a^2 dx

Passo 5

Observando que a função e^-x^2/a^2 é par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y, podemos simplificar a integral de -a a a como o dobro da integral de 0 a a:
P = 2a raizpi integral0^a e^-x^2/a^2 dx

Passo 6

Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a integral. Seja t = xa, então x = a t e dx = a dt. Substituindo na integral:
P = 2a raizpi integral0^1 e^-a^2 t^2/a^2 cdot a dt = 2raizpi integral0^1 e^-t^2 dt

Passo 7

A integral integral0^z e^-t^2 dt está relacionada à função erro, definida como:
erf(z) = 2raizpi integral0^z e^-t^2 dt
Portanto, nossa expressão de probabilidade fica:
P = erf(1)

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo -a <= x <= a é igual a erf(1), que aproximadamente vale 0,8427.

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