As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos (em todas as equações, x está em metros, t está em segundos, e t>0 ):
a) x(t)=2 cdot t^2
b) x(t)=2-t
c) x(t)=-t+2 cdot t^3
d) x(t)=t-10
Em que caso(s) a velocidade v está orientada no sentido negativo do eixo x?

Passo 1

Temos quatro funções de posição x(t) em que t>0 (tempo em segundos, posição em metros). A matéria envolvida é cálculo de derivadas, porque a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=dxdt
Para resolver, vamos aplicar as regras básicas de derivação (regra do poder e derivada de constante) em cada caso e depois checar onde v(t)<0 (velocidade orientada no sentido negativo de x).

Passo 2

Calcular v(t)=dx/dt para cada função:
a) x(t)=2,t^2
va(t)=ddt[2,t^2]=2cdot 2,t^2-1=4,t
b) x(t)=2 - t
vb(t)=ddt[2 - t]=0 - 1=-1
c) x(t)=-t + 2,t^3
vc(t)=ddt[-t + 2,t^3]=-1 + 2cdot3,t^3-1=-1+6,t^2
d) x(t)=t - 10
vd(t)=ddt[t - 10]=1 - 0=1

Passo 3

Agora, analisar onde cada v(t) é negativa ( v(t)<0):
a) va(t)=4t. Como t>0, 4t>0 sempre. Nunca é negativa.
b) vb(t)=-1. Isso é sempre menor que zero, para todo t>0.
c) vc(t)=-1+6t^2<0;Longrightarrow;6t^2<1;Longrightarrow;t^2
d) vd(t)=1. Sempre positivo, nunca negativo.

Resposta

A velocidade está orientada no sentido negativo do eixo x nos casos
b) para todo t>0,
c) apenas quando 0.

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