Um ator de cinema precisava fazer um regime para emagrecer, em virtude do seu papel num novo filme. O diretor exigiu que ele perdesse a terça parte do seu peso, que era de 120 kg , seguindo uma dieta que o emagrecesse proporcionalmente ao peso de cada instante. Nestas condições, sabendo-se que, iniciada a dieta, o artista emagreceu 20 kg em 40 dias, quanto tempo será necessário para que ele comece a atuar no filme?
Passo 1
O enunciado diz que o ator tinha peso inicial de 120 kg e que a dieta faz o peso diminuir proporcionalmente ao peso de cada instante (decrescimento exponencial). Ele precisa chegar a 80 kg (perder 1/3 de 120 kg). Sabemos que em 40 dias ele foi de 120 kg a 100 kg, e precisamos descobrir quantos dias levará para chegar a 80 kg.
Passo 2
Para modelar o problema, usamos a lei do decaimento exponencial: a taxa de variação do peso W em função do tempo t é proporcional a W, ou seja dW/dt=–kW. A solução geral é
onde W_0=120 kg.
Passo 3
Usando o dado de que em t=40 dias ele está com 100 kg, substituímos na fórmula:
Logo
e tirando logaritmo,
portanto
Passo 4
Agora queremos o tempo T tal que W(T)=80 kg. Substituindo na lei do decaimento,
logo
etirando logaritmo,
e, usando o valor de k, temos
Passo 5
Bastando calcular numericamente,
ou seja aproximadamente 89 dias.
Resposta
São necessários cerca de 89 dias para o ator chegar a 80 kg.