Um ator de cinema precisava fazer um regime para emagrecer, em virtude do seu papel num novo filme. O diretor exigiu que ele perdesse a terça parte do seu peso, que era de 120 kg , seguindo uma dieta que o emagrecesse proporcionalmente ao peso de cada instante. Nestas condições, sabendo-se que, iniciada a dieta, o artista emagreceu 20 kg em 40 dias, quanto tempo será necessário para que ele comece a atuar no filme?

Passo 1

O enunciado diz que o ator tinha peso inicial de 120 kg e que a dieta faz o peso diminuir proporcionalmente ao peso de cada instante (decrescimento exponencial). Ele precisa chegar a 80 kg (perder 1/3 de 120 kg). Sabemos que em 40 dias ele foi de 120 kg a 100 kg, e precisamos descobrir quantos dias levará para chegar a 80 kg.

Passo 2

Para modelar o problema, usamos a lei do decaimento exponencial: a taxa de variação do peso W em função do tempo t é proporcional a W, ou seja dW/dt=–kW. A solução geral é
W(t)=W0e^-k t,
onde W_0=120 kg.

Passo 3

Usando o dado de que em t=40 dias ele está com 100 kg, substituímos na fórmula:
100=120e^-k,40 ,
Logo
e^-40k=100120=56
e tirando logaritmo,
-40k=lnl(tfrac56r)
portanto
k=-tfrac140lnl(tfrac56r) .

Passo 4

Agora queremos o tempo T tal que W(T)=80 kg. Substituindo na lei do decaimento,
80=120e^-kT
logo
e^-kT=80120=23
etirando logaritmo,
-kT=lnl(tfrac23r)
e, usando o valor de k, temos
T=-1klnl(tfrac23r)=40ln(2/3)ln(5/6) .

Passo 5

Bastando calcular numericamente,
Tapprox40times-0.4055-0.1823approx88.97 dias,
ou seja aproximadamente 89 dias.

Resposta

São necessários cerca de 89 dias para o ator chegar a 80 kg.

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