Calcule, se possível, os limites abaixo.
lim x 8 raiz[3]x-2x^3-8 x^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite lim x 8 raiz[3]x-2x^3-8 x^2. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, a gente vai precisar identificar se o limite é indeterminado e, se for, aplicar a regra de L’Hospital, que utiliza derivadas para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x por 8 na expressão:
raiz[3]8-28^3-8 times 8^2 = 2-2512 - 512 = 00
Como obtemos uma forma 00, que é uma indeterminação, podemos aplicar a regra de L’Hospital para continuar.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.
Derivada do numerador raiz[3]x:
ddx raiz[3]x = 13x^-2/3
Derivada do denominador x^3 - 8x^2:
ddx (x^3 - 8x^2) = 3x^2 - 16x

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x 8 13x^-2/33x^2 - 16x
Vamos substituir x por 8 nessa nova expressão:
13 times 8^-2/33 times 8^2 - 16 times 8 = 13 times 14192 - 128 = 11264 = 1768

Resposta

O limite é 1768.

Exercícios relacionados