Seja X(u, v) uma superfície parametrizada regular. Prove que, se F : R^3 R^3 é uma difeomorfismo, então barX=F circ X é uma superfície parametrizada regular.

Passo 1

A questão diz que temos uma parametrização regular de superfície X(u,v) e que F:R^3toR^3 é um difeomorfismo. O conteúdo é teoria de superfícies suaves e o que precisamos usar é a definição de superfície parametrizada regular (derivadas parciais são linearmente independentes) e o fato de que o diferencial de um difeomorfismo é invertível.

Passo 2

Pelo Teorema da Cadeia, as derivadas parciais de bar X = Fcirc X são obtidas aplicando o diferencial de F às derivadas de X. Em notação, para cada (u,v):
bar Xu(u,v)=dFl(X(u,v)r)l(Xu(u,v)r), bar Xv(u,v)=dFl(X(u,v)r)l(Xv(u,v)r)

Passo 3

Como F é um difeomorfismo, seu diferencial dF(p) em qualquer ponto p é um isomorfismo linear (matriz invertível). Isso significa que, sempre que Xu(u,v) e Xv(u,v) são linearmente independentes (regularidade de X), as imagens dF(X(u,v))(Xu) e dF(X(u,v))(Xv) também serão linearmente independentes.
Portanto, em todo ponto (u,v) as derivadas bar Xu e bar Xv de bar X são linearmente independentes. Isso mostra que bar X é parametrização suave e regular de superfície, como queríamos provar.

Resposta

Como o diferencial de um difeomorfismo é sempre invertível, ele preserva independência linear das derivadas; assim bar X=Fcirc X herda a regularidade de X e é uma parametrização regular de superfície.

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