Seja
uma superfície parametrizada regular. Prove que, se
:
é uma difeomorfismo, então
é uma superfície parametrizada regular.
Passo 1
A questão diz que temos uma parametrização regular de superfície
e que
é um difeomorfismo. O conteúdo é teoria de superfícies suaves e o que precisamos usar é a definição de superfície parametrizada regular (derivadas parciais são linearmente independentes) e o fato de que o diferencial de um difeomorfismo é invertível.
Passo 2
Pelo Teorema da Cadeia, as derivadas parciais de
são obtidas aplicando o diferencial de
às derivadas de
. Em notação, para cada
:
Passo 3
Como
é um difeomorfismo, seu diferencial
em qualquer ponto
é um isomorfismo linear (matriz invertível). Isso significa que, sempre que
e
são linearmente independentes (regularidade de
), as imagens
e
também serão linearmente independentes.
Portanto, em todo ponto as derivadas
e
de
são linearmente independentes. Isso mostra que
é parametrização suave e regular de superfície, como queríamos provar.
Portanto, em todo ponto
Resposta
Como o diferencial de um difeomorfismo é sempre invertível, ele preserva independência linear das derivadas; assim
herda a regularidade de
e é uma parametrização regular de superfície.