Dada a função abaixo. Faça o que se pede:
f(x)=rll cos x, & se & x<-pi / 2 -2 x-pi, & se & -pi / 2= 3
Determine o(s) intervalo(s) nos quais f é contínua. Caso existam pontos de descontinuidade, classifique-os.

Passo 1

A questão envolve uma função definida por partes e pede para achar onde ela é contínua e classificar suas descontinuidades. O conteúdo principal é continuidade de funções reais e limites. Para resolver vamos usar a definição: f é contínua em x₀ se limₓ→ₓ₀⁻f(x)=limₓ→ₓ₀⁺f(x)=f(x₀).

Passo 2

Cada ramo de f é uma função elementar contínua em seu intervalo: cos x é contínua em (−∞,−π/2), a reta −2x−π em (−π/2,0], o polinômio (1/3)x²−3 em (0,3) e √(x−3) em [3,∞). Logo f é contínua em cada um desses intervalos abertos.

Passo 3

Analisando x=−π/2: limₓ→(−π/2)⁻f(x)=limₓ→(−π/2)⁻cos x=cos(−π/2)=0.
limₓ→(−π/2)⁺f(x)=limₓ→(−π/2)⁺(−2x−π)=−2(−π/2)−π=0.
f(−π/2) não está definido (–π/2 não pertence a nenhum ramo).
Como os limites laterais existem e são iguais, mas f(−π/2) não existe, temos descontinuidade removível em x=−π/2.

Passo 4

Analisando x=0: limₓ→0⁻f(x)=limₓ→0⁻(−2x−π)=−π.
limₓ→0⁺f(x)=limₓ→0⁺((1/3)x²−3)=−3.
f(0)=−2·0−π=−π.
Os limites laterais são diferentes (−π ≠ −3), logo há salto finito (descontinuidade do tipo I) em x=0.

Passo 5

Analisando x=3: limₓ→3⁻f(x)=limₓ→3⁻((1/3)x²−3)=(1/3)·9−3=0.
limₓ→3⁺f(x)=limₓ→3⁺√(x−3)=0.
f(3)=√0=0.
Como limites laterais iguais a f(3), f é contínua em x=3.

Passo 6

Juntando tudo: f é contínua em todos os pontos, exceto em x=−π/2 e x=0.
Portanto os intervalos de continuidade são (−∞,−π/2), (−π/2,0) e (0,∞).
Em x=−π/2 há descontinuidade removível; em x=0 há descontinuidade por salto (tipo I).

Resposta

f é contínua em (−∞,−π/2), (−π/2,0) e (0,∞). Há descontinuidade removível em x=−π/2 e descontinuidade por salto finito em x=0.

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