A ATPase é uma enzima que degrada o ATP em ADP + Pi. Na seguinte tabela, se encontram os dados dessa atividade. Determine Vmáx e Km, sabendo que essa reação segue a equação de Michaelis-Menten.
[ATP] (\mu \mathrm{mol}) 0,60 0,80 1,40 1,50 2,00
\mathrm{Vo}(\mu \mathrm{mol} / \mathrm{s}) 0,81 0,97 1,30 1,47 1,47

Passo 1

O enunciado dá uma série de medições da velocidade inicial V_0 da ATPase para diferentes concentrações de ATP e pede para determinar V_{\max} e K_m, assumindo cinética de Michaelis–Menten. Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
  • Concentrações de ATP \\ ([\mathrm{ATP}]\\ \text{em }\mu\mathrm{mol}): 0{,}60,\\\ 0{,}80,\\\ 1{,}40,\\\ 1{,}50,\\\ 2{,}00.
  • Velocidades iniciais \\ (V_0\\ \text{em }\mu\mathrm{mol}/\mathrm{s}): 0{,}81,\\\ 0{,}97,\\\ 1{,}30,\\\ 1{,}47,\\\ 1{,}47.
O que se pede: encontrar os valores numéricos de V_{\max} e K_m (com suas unidades).

Passo 2

Relembre a equação de Michaelis–Menten e o significado das grandezas (aula rápida e prática):
V_0 = \frac{V_{\max}\,[S]}{K_m + [S]}
Onde:
  • V_0 é a velocidade inicial medida (aqui em \mu\mathrm{mol}/\mathrm{s}).
  • V_{\max} é a velocidade máxima quando a enzima está saturada pelo substrato.
  • [S] é a concentração de substrato (aqui [\mathrm{ATP}] em \mu\mathrm{mol}).
  • K_m é a constante de Michaelis — numericamente, é a concentração de substrato em que V_0 = V_{\max}/2.
Fórmula útil obtida isolando K_m na equação acima:
K_m = [S]\!\left(\frac{V_{\max}}{V_0}-1\right)
Essa fórmula permite estimar K_m a partir de qualquer par ([S],V_0) se soubermos V_{\max}.

Passo 3

Estimativa de V_{\max} a partir dos dados (explicação prática para prova):
  • Observa-se que as duas maiores concentrações \, [\mathrm{ATP}]=1{,}50 e 2{,}00\\ \mu\mathrm{mol}\, deram a mesma velocidade V_0=1{,}47\\ \mu\mathrm{mol}/\mathrm{s}.
  • Quando aumentar [S] não aumenta V_0, isso indica saturação enzimática: a velocidade já está essencialmente em V_{\max}.
    Portanto, uma estimativa natural e direta para V_{\max} é
V_{\max}=1{,}47\\ \mu\mathrm{mol}/\mathrm{s}.

Passo 4

Estimativa de K_m usando a fórmula rearranjada em cada ponto que não esteja saturado (para ver a consistência). Vou calcular K_m a partir de cada um dos três primeiros pontos (os dois últimos dão V_0=V_{\max} e gerariam K_m=0, o que é artefato por já estarem na saturação).
Usando
K_m = [S]\!\left(\frac{V_{\max}}{V_0}-1\right)
com V_{\max}=1{,}47.
  1. Para [S]=0{,}60, V_0=0{,}81:
\frac{V_{\max}}{V_0}=\frac{1{,}47}{0{,}81}=1{,}814814815
K_m = 0{,}60\cdot(1{,}814814815-1)=0{,}60\cdot0{,}814814815=0{,}488888889\\ \mu\mathrm{mol}.
  1. Para [S]=0{,}80, V_0=0{,}97:
\frac{V_{\max}}{V_0}=\frac{1{,}47}{0{,}97}=1{,}515463918
K_m = 0{,}80\cdot(1{,}515463918-1)=0{,}80\cdot0{,}515463918=0{,}412371134\\ \mu\mathrm{mol}.
  1. Para [S]=1{,}40, V_0=1{,}30:
\frac{V_{\max}}{V_0}=\frac{1{,}47}{1{,}30}=1{,}130769231
K_m = 1{,}40\cdot(1{,}130769231-1)=1{,}40\cdot0{,}130769231=0{,}183076923\\ \mu\mathrm{mol}.
Observação didática: cada ponto experimental dá uma estimativa ligeiramente diferente de K_m por causa de erro experimental e do fato de que tomamos V_{\max} como o valor observado em saturação (estimativa prática). Em prova, é aceitável obter uma média ou justificar escolha por consistência dos dados.

Passo 5

Combinar as estimativas (maneira simples e prática para prova):
  • As três estimativas obtidas são \,0{,}4889,\\\ 0{,}4124,\\\ 0{,}1831\\ \mu\mathrm{mol}.
  • Uma média aritmética simples dá
K_m \approx \frac{0{,}488888889+0{,}412371134+0{,}183076923}{3}=0{,}361445649\\ \mu\mathrm{mol}.
  • Como alternativa, pode-se citar a mediana ( 0{,}4124\\ \mu\mathrm{mol}) para reduzir influência de um outlier; ambos procedimentos são razoáveis se justificar.
Para ser direto e prático (como se espera numa prova rápida), eu reporto o resultado arredondado com uma casa decimal compatível com os dados originais:
K_m \approx 0{,}36\\ \mu\mathrm{mol}.

Resposta

V_{\max}=1{,}47\\ \mu\mathrm{mol}/\mathrm{s}
K_{m}=0{,}36\\ \mu\mathrm{mol}

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