Use o Teorema de Green para calcular oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, sendo:
\mathbf{F}(x, y)=y^{3} \mathbf{i}+x^{3} \mathbf{j} e C o contorno da região triangular com vértices em (0,0),(1,0) e ( 1,1 ), percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a circulação \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
para \mathbf{F}(x,y)=y^{3}\,\mathbf{i}+x^{3}\,\mathbf{j} ao redor do contorno C do triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1), orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que converte a integral de linha numa integral dupla sobre a região D interior a C.

Passo 2

Pela forma do Teorema de Green, se \mathbf{F}=(P,Q) então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Aqui temos P(x,y)=y^{3} e Q(x,y)=x^{3}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais: \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=3x^{2}, \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=3y^{2}.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =3x^{2}-3y^{2}=3\,(x^{2}-y^{2}).

Passo 4

A região D é o triângulo
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x\}.
Portanto montamos a integral iterada:
\iint_{D}3(x^{2}-y^{2})\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x}3\,(x^{2}-y^{2})\,dy\,dx.

Passo 5

Avaliaremos a integral interna primeiro:
\int_{0}^{x}(x^{2}-y^{2})\,dy =x^{2}x-\frac{x^{3}}{3} =\frac{2x^{3}}{3}.
Multiplicando por 3 2x^{3}. Agora a integral externa:
\int_{0}^{1}2x^{3}\,dx =2\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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