Uma atração muito popular nos circos é o Globo da Morte, que consiste numa gaiola de forma esférica no interior da qual se movimenta uma pessoa, pilotando uma motocicleta. Considere um globo de raio
. (a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a motocicleta nos pontos A, B, C e D indicados na figura, sem incluir as forças de atrito. Para efeitos práticos, considere o conjunto piloto + motocicleta como sendo um ponto material. (b) Qual a velocidade mínima que a motocicleta deve ter no ponto C para não perder o contato com o interior do globo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Fazer diagramas das forças que atuam sobre a motocicleta nos pontos
e (sem atrito), tratando piloto+motocicleta como ponto material. - (b) Calcular a velocidade mínima que a motocicleta deve ter no ponto
para não perder o contato com o interior do globo.
Dados fornecidos:
- Raio do globo:
. - Ignorar forças de atrito.
- Considerar piloto+motocicleta como um ponto material de massa
(massa não dada, vai aparecer apenas em relações que se cancelam).
Observação importante (assunção feita porque a figura não foi enviada): vou assumir a disposição usual destes problemas (se a figura que você tem for diferente, o raciocínio é análogo trocando posições):
-
é o ponto mais alto (topo) do globo. -
é um ponto lateral (direita) na altura do centro (equador). -
é o ponto mais baixo (fundo) do globo. -
é o outro ponto lateral (esquerda) na altura do centro.
Passo 2
Identificar as forças possíveis e sua orientação geral (sem desenhar ainda).
- Peso: sempre existe e é
, apontando verticalmente para baixo. Aqui vou chamar sua intensidade de , com a aceleração da gravidade. - Força normal da superfície da gaiola sobre a motocicleta:
. Como o contato é com a parede interna da esfera, a normal é sempre dirigida radialmente para o centro da esfera (isto é, a superfície empurra o corpo em direção ao centro). Não há atrito (foi pedido para ignorar), então não incluímos nenhuma força tangencial.
Conceito físico que vamos usar: para movimento ao longo da parede interna em trajetória circular de raio
(no plano vertical), a aceleração centrípeta necessária para manter o movimento em cada ponto é dirigida para o centro e tem magnitude
onde
é a velocidade naquele ponto. A soma das componentes radiais (isto é, na direção centro-objeto) das forças deve fornecer
:
Passo 3
Diagramas/descrição das forças em cada ponto (descrição verbal precisa para desenhar o diagrama).
- Ponto
(topo): o centro da esfera está abaixo de , logo a normal aponta para baixo (em direção ao centro). O peso também aponta para baixo. Portanto, ambos estão na mesma direção (para baixo). Equação radial (positive na direção para o centro = para baixo):
- Ponto
(lateral, à altura do centro): o centro está horizontalmente para dentro da esfera; a normal é horizontal, apontando para o centro. O peso é vertical para baixo (perpendicular à direção radial). Assim, na direção radial (horizontal) só existe , e
(Observação: a componente vertical do movimento/tangente não aparece na equação radial; sem atrito não incluímos forças tangenciais.)
- Ponto
(fundo/inferior): o centro da esfera está acima de , então a normal aponta para cima (em direção ao centro). O peso aponta para baixo, oposto à normal. Equação radial (positive na direção para o centro = para cima):
ou seja
- Ponto
(lateral oposto a ): análogo a . A normal é horizontal, apontando para o centro (oposta a em sentido), e o peso é vertical para baixo. Na direção radial:
Essas são as informações que um diagrama de corpo livre em cada ponto deve mostrar: dois vetores (normal radial e peso vertical) com as orientações indicadas acima.
Passo 4
Explicação didática sobre como usar essas equações na prova (como raciocinar rapidamente).
- Sempre identifique a direção radial (linha que liga o ponto de contato ao centro). A normal aponta nessa direção, sempre para o centro (porque é contato com a superfície interna).
- Coloque o peso vertical para baixo; decompõe-se em componente radial somente quando o ponto não está na horizontal do centro (por exemplo no topo e no fundo ele contribui totalmente para a componente radial; nas laterais a contribuição radial é zero).
- A equação-chave é sempre a de componentes radiais:
- Perceba que se a normal calculada dá
isso indica que, com a velocidade dada, a superfície não exerce a força necessária (o corpo perderia contato). Assim, a condição de manter o contato é . Em problemas de mínimo de velocidade geralmente se impõe a condição limite no ponto crítico (onde a perda de contato começaria).
Passo 5
Aplicação ao item (b): identificar o ponto crítico e escolher a estratégia.
- Situação típica: para que a moto não perca contato em nenhum ponto da volta vertical, a condição crítica ocorre no topo
(onde a gravidade auxilia a perda de contato). Se a pergunta pede a velocidade mínima em (fundo) para não perder contato em qualquer ponto da volta, usamos conservação de energia entre (fundo) e (topo) e a condição limite no topo . (Isto é o procedimento padrão e o mais simples.) - Portanto: usar conservação de energia para relacionar
e ; em seguida exigir que no topo . Para velocidade mínima toma-se .
Passo 6
Calcular passo a passo a velocidade mínima no fundo
.
- Conservação de energia entre
(altura ) e (altura ): a subida vertical entre fundo e topo é . A energia mecânica:
Isolando
:
- Condição no topo
(escrevendo a equação radial do Passo 3 e impondo para o caso limite):
- Substituir
na relação de energia:
- Tomando
e :
Passo 7
Interpretação final rápida (como responder no exame):
- (a) Desenhe, em cada ponto, dois vetores:
para baixo e radial para o centro; nos pontos topo/fundo as duas forças estão colineares (mesma/ sentidos opostos), nas laterais a normal é horizontal e o peso vertical (perpendiculares). - (b) A velocidade mínima no ponto
(fundo) para manter contato durante toda a volta vale
Resposta
(a) Nos diagramas de corpo livre, em cada ponto mostrar apenas
(para baixo) e
(normal radial para o centro):
A: apontando para baixo (para o centro) e
para baixo, com
.
B: horizontal para o centro e
para baixo, com
.
C: apontando para cima (para o centro) e
para baixo, com
.
D: horizontal para o centro (oposta a
) e
para baixo, com
.
(b)
A:
B:
C:
D:
(b)