Uma atração muito popular nos circos é o Globo da Morte, que consiste numa gaiola de forma esférica no interior da qual se movimenta uma pessoa, pilotando uma motocicleta. Considere um globo de raio \mathrm{R}=3,6 \mathrm{~m}. (a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a motocicleta nos pontos A, B, C e D indicados na figura, sem incluir as forças de atrito. Para efeitos práticos, considere o conjunto piloto + motocicleta como sendo um ponto material. (b) Qual a velocidade mínima que a motocicleta deve ter no ponto C para não perder o contato com o interior do globo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Fazer diagramas das forças que atuam sobre a motocicleta nos pontos A, B, C e D (sem atrito), tratando piloto+motocicleta como ponto material.
  • (b) Calcular a velocidade mínima que a motocicleta deve ter no ponto C para não perder o contato com o interior do globo.
Dados fornecidos:
  • Raio do globo: R=3,6\\ \mathrm{m}.
  • Ignorar forças de atrito.
  • Considerar piloto+motocicleta como um ponto material de massa m (massa não dada, vai aparecer apenas em relações que se cancelam).
Observação importante (assunção feita porque a figura não foi enviada): vou assumir a disposição usual destes problemas (se a figura que você tem for diferente, o raciocínio é análogo trocando posições):
  • A é o ponto mais alto (topo) do globo.
  • B é um ponto lateral (direita) na altura do centro (equador).
  • C é o ponto mais baixo (fundo) do globo.
  • D é o outro ponto lateral (esquerda) na altura do centro.

Passo 2

Identificar as forças possíveis e sua orientação geral (sem desenhar ainda).
  • Peso: sempre existe e é \vec{P}=m\vec{g}, apontando verticalmente para baixo. Aqui vou chamar sua intensidade de mg, com g a aceleração da gravidade.
  • Força normal da superfície da gaiola sobre a motocicleta: \vec{N}. Como o contato é com a parede interna da esfera, a normal é sempre dirigida radialmente para o centro da esfera (isto é, a superfície empurra o corpo em direção ao centro). Não há atrito (foi pedido para ignorar), então não incluímos nenhuma força tangencial.
Conceito físico que vamos usar: para movimento ao longo da parede interna em trajetória circular de raio R (no plano vertical), a aceleração centrípeta necessária para manter o movimento em cada ponto é dirigida para o centro e tem magnitude
a_c=\frac{v^2}{R},
onde v é a velocidade naquele ponto. A soma das componentes radiais (isto é, na direção centro-objeto) das forças deve fornecer m a_c:
\sum F_{\text{radial}} = m\frac{v^2}{R}.

Passo 3

Diagramas/descrição das forças em cada ponto (descrição verbal precisa para desenhar o diagrama).
  • Ponto A (topo): o centro da esfera está abaixo de A, logo a normal \vec{N}_A aponta para baixo (em direção ao centro). O peso \vec{P}=m\vec{g} também aponta para baixo. Portanto, ambos estão na mesma direção (para baixo). Equação radial (positive na direção para o centro = para baixo):
N_A + mg = m\frac{v_A^2}{R}.
  • Ponto B (lateral, à altura do centro): o centro está horizontalmente para dentro da esfera; a normal \vec{N}_B é horizontal, apontando para o centro. O peso mg é vertical para baixo (perpendicular à direção radial). Assim, na direção radial (horizontal) só existe N_B, e
N_B = m\frac{v_B^2}{R}.
(Observação: a componente vertical do movimento/tangente não aparece na equação radial; sem atrito não incluímos forças tangenciais.)
  • Ponto C (fundo/inferior): o centro da esfera está acima de C, então a normal \vec{N}_C aponta para cima (em direção ao centro). O peso mg aponta para baixo, oposto à normal. Equação radial (positive na direção para o centro = para cima):
N_C - mg = m\frac{v_C^2}{R},
ou seja
N_C = m\frac{v_C^2}{R} + mg.
  • Ponto D (lateral oposto a B): análogo a B. A normal \vec{N}_D é horizontal, apontando para o centro (oposta a N_B em sentido), e o peso é vertical para baixo. Na direção radial:
N_D = m\frac{v_D^2}{R}.
Essas são as informações que um diagrama de corpo livre em cada ponto deve mostrar: dois vetores (normal radial e peso vertical) com as orientações indicadas acima.

Passo 4

Explicação didática sobre como usar essas equações na prova (como raciocinar rapidamente).
  • Sempre identifique a direção radial (linha que liga o ponto de contato ao centro). A normal aponta nessa direção, sempre para o centro (porque é contato com a superfície interna).
  • Coloque o peso vertical para baixo; decompõe-se em componente radial somente quando o ponto não está na horizontal do centro (por exemplo no topo e no fundo ele contribui totalmente para a componente radial; nas laterais a contribuição radial é zero).
  • A equação-chave é sempre a de componentes radiais:
\sum F_{\text{radial}} = m\frac{v^2}{R}.
  • Perceba que se a normal calculada dá N<0 isso indica que, com a velocidade dada, a superfície não exerce a força necessária (o corpo perderia contato). Assim, a condição de manter o contato é N\ge 0. Em problemas de mínimo de velocidade geralmente se impõe a condição limite N=0 no ponto crítico (onde a perda de contato começaria).

Passo 5

Aplicação ao item (b): identificar o ponto crítico e escolher a estratégia.
  • Situação típica: para que a moto não perca contato em nenhum ponto da volta vertical, a condição crítica ocorre no topo A (onde a gravidade auxilia a perda de contato). Se a pergunta pede a velocidade mínima em C (fundo) para não perder contato em qualquer ponto da volta, usamos conservação de energia entre C (fundo) e A (topo) e a condição limite no topo N_A=0. (Isto é o procedimento padrão e o mais simples.)
  • Portanto: usar conservação de energia para relacionar v_C e v_A; em seguida exigir que no topo N_A\ge 0. Para velocidade mínima toma-se N_A=0.

Passo 6

Calcular passo a passo a velocidade mínima no fundo C.
  1. Conservação de energia entre C (altura -R) e A (altura +R): a subida vertical entre fundo e topo é 2R. A energia mecânica:
\frac{1}{2}m v_C^2 = \frac{1}{2}m v_A^2 + mg(2R).
Isolando v_A^2:
v_A^2 = v_C^2 - 4gR.
  1. Condição no topo A (escrevendo a equação radial do Passo 3 e impondo N_A=0 para o caso limite):
0 + mg = m\frac{v_A^2}{R}\quad\Rightarrow\quad v_A^2 = gR.
  1. Substituir v_A^2=gR na relação de energia:
gR = v_C^2 - 4gR \quad\Rightarrow\quad v_C^2 = 5gR.
  1. Tomando g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e R=3,6\\ \mathrm{m}:
v_C^2 = 5\cdot 9,8\cdot 3,6 = 176,4.
v_C = \sqrt{176,4}\approx 13,285\\ \mathrm{m/s}\approx 13,3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação final rápida (como responder no exame):
  • (a) Desenhe, em cada ponto, dois vetores: m\vec{g} para baixo e \vec{N} radial para o centro; nos pontos topo/fundo as duas forças estão colineares (mesma/ sentidos opostos), nas laterais a normal é horizontal e o peso vertical (perpendiculares).
  • (b) A velocidade mínima no ponto C (fundo) para manter contato durante toda a volta vale
v_{C,\min}=\sqrt{5gR}\approx 13,3\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) Nos diagramas de corpo livre, em cada ponto mostrar apenas m\vec{g} (para baixo) e \vec{N} (normal radial para o centro):
A: \vec{N}_A apontando para baixo (para o centro) e m\vec{g} para baixo, com N_A+mg=mv_A^2/R.
B: \vec{N}_B horizontal para o centro e m\vec{g} para baixo, com N_B=mv_B^2/R.
C: \vec{N}_C apontando para cima (para o centro) e m\vec{g} para baixo, com N_C=mv_C^2/R+mg.
D: \vec{N}_D horizontal para o centro (oposta a N_B) e m\vec{g} para baixo, com N_D=mv_D^2/R.
(b) \displaystyle v_{C,\min}=\sqrt{5gR}\approx 13,3\\ \mathrm{m/s}

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