Um estudante possui massa de 65 kg . Ao andar numa roda-gigante que gira com velocidade constante possui um peso aparente de 530 N , no ponto mais alto da trajetória da rodagigante.
(a) Calcule o seu peso aparente no ponto mais baixo da trajetória. (b) Qual seria o seu peso aparente no ponto mais alto da trajetória, se a velocidade da roda gigante dobrasse de valor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • A massa do estudante é \,m=65\\ \text{kg}.
  • No ponto mais alto da roda-gigante o peso aparente (força normal que o assento exerce sobre o estudante) é \,N_{\text{top}}=530\\ \text{N}.
  • Aceleração da gravidade vale \,g=9,8\\ \text{m/s}^2 (valor padrão).
    O enunciado pede:
    (a) Calcular o peso aparente no ponto mais baixo da trajetória.
    (b) Calcular o peso aparente no ponto mais alto se a velocidade da roda-gigante dobrar.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
  • Peso real: é a força gravitacional sobre a massa e vale \,mg, onde \,m é a massa e \,g a aceleração da gravidade.
  • Peso aparente: é a força normal \,N que o assento (ou a pessoa que suporta) exerce sobre o corpo. Um aparelho de medir peso mediria \,N.
  • Movimento circular uniforme: para que o estudante descreva um movimento circular de raio \,r com velocidade escalar \,v, é necessária uma aceleração centrípeta dirigida ao centro da trajetória, com módulo
a_c=\frac{v^2}{r}.
  • Segunda lei de Newton na direção radial: a soma das componentes das forças na direção do centro fornece a massa vezes a aceleração centrípeta:
    • No ponto mais alto: o centro da roda está abaixo do estudante. As forças verticais são o peso \,mg para baixo e a normal \,N_{\text{top}} para cima (o assento empurra para cima). A resultante para baixo deve ser \,m a_c. Assim:
    mg - N_{\text{top}} = m\frac{v^2}{r}.Reescrevendo para \,N_{\text{top}}: N_{\text{top}} = mg - m\frac{v^2}{r}.
    • No ponto mais baixo: o centro da roda está acima do estudante. As forças verticais são a normal \,N_{\text{bot}} para cima e o peso \,mg para baixo. A resultante para cima deve ser \,m a_c. Assim:
    N_{\text{bot}} - mg = m\frac{v^2}{r}.Reescrevendo: N_{\text{bot}} = mg + m\frac{v^2}{r}.
Observação sobre sinais: aqui foi usada a convenção positiva para cima quando conveniente; o importante é montar corretamente a soma das forças na direção radial e igualar a m a_c.

Passo 3

Calcular o peso real \,mg do estudante:
mg = m\cdot g = 65\cdot 9,8 = 637\\ \text{N}.

Passo 4

Usar a expressão do passo 2 em \,N_{\text{top}} = mg - m\frac{v^2}{r} e o valor dado \,N_{\text{top}}=530\\ \text{N} para encontrar o termo centrípeto \,m\frac{v^2}{r}:
m\frac{v^2}{r} = mg - N_{\text{top}} = 637 - 530 = 107\\ \text{N}.
Esse valor \,107\\ \text{N} é exatamente a força centrípeta necessária, igual a m a_c.

Passo 5

Calcular o peso aparente no ponto mais baixo usando \,N_{\text{bot}} = mg + m\frac{v^2}{r}:
N_{\text{bot}} = 637 + 107 = 744\\ \text{N}.
Portanto a resposta de (a) é \,744\\ \text{N}.

Passo 6

Agora a parte (b): se a velocidade dobrar, \,v' = 2v. A aceleração centrípeta depende de v^2, então:
m\frac{{v'}^{2}}{r} = m\frac{(2v)^2}{r} = m\frac{4v^2}{r} = 4\left(m\frac{v^2}{r}\right).
Como já obtivemos \,m\frac{v^2}{r}=107\\ \text{N}, temos
m\frac{{v'}^{2}}{r} = 4\cdot 107 = 428\\ \text{N}.
Usando a fórmula do topo com a nova velocidade:
N_{\text{top}}' = mg - m\frac{{v'}^{2}}{r} = 637 - 428 = 209\\ \text{N}.

Resposta

(a) 744\\ \text{N}
(b) 209\\ \text{N}

Exercícios relacionados