Uma curva circular de raio R é projetada para uma velocidade máxima de 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
Caso a curva não seja inclinada, qual deve ser o menor coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada para evitar a derrapagem para a velocidade de 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: uma curva circular de raio R.
  • Dado: velocidade máxima projetada para a curva v=60\\ \mathrm{km/h}.
  • Condição: a curva não é inclinada (plana, sem superelevação).
  • Pergunta: qual deve ser o menor coeficiente de atrito estático \mu entre pneus e estrada para que um veículo fazendo a curva a 60\\ \mathrm{km/h} não derrape?

Passo 2

Vamos identificar as forças que atuam no veículo (cena mental de corpo livre).
  • Peso: força vertical para baixo de módulo mg, onde m é a massa do veículo e g a aceleração da gravidade.
  • Normal: reação da estrada para cima de módulo N.
  • Atrito estático horizontal: força horizontal disponível para fazer o carro virar; seu máximo é f_{\max}=\mu N.
Como a pista é plana e o carro não deixa o chão nem afunda nele, não há aceleração vertical, logo a normal equilibra o peso: N=mg.

Passo 3

Para o carro descrever a curva circular em velocidade constante é necessária uma aceleração radial (centrípeta) de módulo
a_c=\frac{v^2}{R},
direcionada para o centro da curva. A única força horizontal que pode fornecer essa aceleração é o atrito estático f. Portanto a condição de manutenção da trajetória é
f = m\,a_c = m\frac{v^2}{R}.

Passo 4

Mas o atrito estático tem um valor máximo f_{\max}=\mu N. Para evitar derrapagem precisamos que o esforço necessário para a curva seja menor ou igual a esse máximo:
\mu N \ge m\frac{v^2}{R}.
Substituindo N=mg e cancelando m:
\mu \ge \frac{v^2}{R g}.
Portanto o menor coeficiente de atrito necessário é
\mu_{\min}=\frac{v^2}{R g}.

Passo 5

Agora converto a velocidade dada para o sistema internacional (m/s). Tem-se
60\\ \mathrm{km/h} = \frac{60\,000\\ \mathrm{m}}{3\,600\\ \mathrm{s}} = 16{,}666\ldots\\ \mathrm{m/s} = \frac{50}{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Substituo v=\dfrac{50}{3}\\ \mathrm{m/s} e g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} na fórmula:
\mu_{\min}=\frac{\left(\dfrac{50}{3}\right)^2}{R\cdot 9{,}8} =\frac{2500/9}{9{,}8\,R} =\frac{2500}{88{,}2\,R} \approx\frac{28{,}34}{R},
onde R deve estar em metros e o resultado é adimensional.

Passo 7

Interpretação prática (para te animar): a expressão \mu_{\min}\approx\dfrac{28{,}34}{R} mostra que curvas de raio maior exigem menos atrito. Por exemplo, se R=50\\ \mathrm{m} então \mu_{\min}\approx\dfrac{28{,}34}{50}\approx 0{,}567; se R=100\\ \mathrm{m} então \mu_{\min}\approx0{,}283.

Resposta

\displaystyle \mu_{\min}=\frac{v^2}{R g}=\frac{\left(\tfrac{50}{3}\right)^2}{9{,}8\,R}\approx\frac{28{,}34}{R}

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