Uma caixa de massa
é empurrada para cima deslocando-se uma distância
, sobre um plano, cuja inclinação é
acima da horizontal, por uma força paralela ao plano inclinado. A caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante
. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é
e a aceleração da gravidade é
. Determine em função das grandezas (
e
) que se fizerem necessárias,
o trabalho realizado sobre a caixa pela força que a empurra;
o trabalho realizado sobre a caixa pela força que a empurra;
Passo 1
O enunciado pede que se determine, em função das grandezas indicadas, o trabalho realizado sobre a caixa pela força que a empurra quando a caixa sobe a distância
ao longo do plano inclinado.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado e da figura):
Informações fornecidas (extraídas do enunciado e da figura):
- massa da caixa:
. - deslocamento ao longo do plano:
. - inclinação do plano em relação à horizontal:
. - coeficiente de atrito cinético:
. - aceleração da gravidade:
. - aceleração da caixa ao subir (paralela ao plano):
. - a força que empurra é paralela ao plano inclinado e provoca aceleração constante
.
Passo 2
Desenhar mentalmente o diagrama de forças (forças atuantes e suas direções) e identificar as componentes relevantes:
- peso: força vertical para baixo de módulo
. Sua componente paralela ao plano (tendendo a puxar a caixa para baixo) tem módulo . - normal ao plano:
, perpendicular ao plano (sem movimento nessa direção). - força de atrito cinético (oposta ao movimento):
, direcionada para baixo ao longo do plano, com módulo . - força aplicada que empurra a caixa para cima, paralela ao plano:
.
Passo 3
Calcular a normal
. Como não há aceleração perpendicular ao plano, a soma das forças na direção normal é zero. A componente normal do peso é
, apontando para dentro do plano; o normal
aponta para fora; logo:
Explicação didática: a normal é a reação do plano ao peso; em planos sem aceleração perpendicular, basta igualar as componentes normais para obter
.
Passo 4
Calcular a força de atrito cinético
. Usando a fórmula básica do atrito cinético:
Substituindo
do passo anterior:
Comentário: o atrito atua sempre oposto ao sentido do movimento (aqui, para baixo ao longo do plano).
Passo 5
Aplicar a segunda lei de Newton na direção paralela ao plano para obter a intensidade da força aplicada
. Tomando como positivo o sentido para cima do plano, a soma das forças na direção paralela é:
Agora substituir
obtido no passo anterior:
Isolando
:
Fatorando
:
Explicação: essa é a força necessária, além de vencer o peso e o atrito, para produzir a aceleração
.
Passo 6
Relacionar força e trabalho. Como a força aplicada tem direção paralela ao deslocamento
(e é constante), o trabalho realizado pela força aplicada ao longo do deslocamento
é simplesmente:
Substituindo
da equação do passo anterior:
Essa é a expressão geral do trabalho em função de
e
.
Passo 7
Substituir o valor numérico dado de
, isto é
, para simplificar a expressão (se desejado):
Fatorando
:
Breve verificação alternativa (didática): usando o teorema trabalho-energia, verifica-se que a soma dos trabalhos das forças (aplicada, peso e atrito) deve ser igual à variação de energia cinética
. Com
e aceleração constante
sobre deslocamento
, tem-se
; os trabalhos das forças peso e atrito são
e
. Da equação
obtém-se a mesma expressão para
acima, conferindo consistência.
Passo 8
Comentário final e incentivo: o resultado tem interpretação clara: o termo
é o trabalho gasto para aumentar a energia cinética (aceleração), o termo
é o trabalho gasto contra a gravidade (elevar a caixa), e o termo
é o trabalho gasto para vencer o atrito. Está tudo no mesmo sinal positivo porque a força aplicada realiza trabalho positivo para compensar essas demandas. Força! Você já tem a expressão pronta para usar na prova.