Uma caixa de massa m é empurrada para cima deslocando-se uma distância d, sobre um plano, cuja inclinação é \theta acima da horizontal, por uma força paralela ao plano inclinado. A caixa parte do repouso e sobe com aceleração constante a=0,2 \mathrm{~g}. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o plano é \mu_{c} e a aceleração da gravidade é g. Determine em função das grandezas ( m, d, \theta, \mu_{c} e g ) que se fizerem necessárias,
o trabalho realizado sobre a caixa pela força que a empurra;

Passo 1

O enunciado pede que se determine, em função das grandezas indicadas, o trabalho realizado sobre a caixa pela força que a empurra quando a caixa sobe a distância d ao longo do plano inclinado.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado e da figura):
  • massa da caixa: m.
  • deslocamento ao longo do plano: d.
  • inclinação do plano em relação à horizontal: \theta.
  • coeficiente de atrito cinético: \mu_{c}.
  • aceleração da gravidade: g.
  • aceleração da caixa ao subir (paralela ao plano): a=0,2\,g.
  • a força que empurra é paralela ao plano inclinado e provoca aceleração constante a.

Passo 2

Desenhar mentalmente o diagrama de forças (forças atuantes e suas direções) e identificar as componentes relevantes:
  • peso: força vertical para baixo de módulo m g. Sua componente paralela ao plano (tendendo a puxar a caixa para baixo) tem módulo m g \sin\theta.
  • normal ao plano: N, perpendicular ao plano (sem movimento nessa direção).
  • força de atrito cinético (oposta ao movimento): f_{k}, direcionada para baixo ao longo do plano, com módulo f_{k}=\mu_{c}N.
  • força aplicada que empurra a caixa para cima, paralela ao plano: \vec{F}.

Passo 3

Calcular a normal N. Como não há aceleração perpendicular ao plano, a soma das forças na direção normal é zero. A componente normal do peso é m g \cos\theta, apontando para dentro do plano; o normal N aponta para fora; logo:
N = m g \cos\theta.
Explicação didática: a normal é a reação do plano ao peso; em planos sem aceleração perpendicular, basta igualar as componentes normais para obter N.

Passo 4

Calcular a força de atrito cinético f_{k}. Usando a fórmula básica do atrito cinético:
f_{k} = \mu_{c} N.
Substituindo N do passo anterior:
f_{k} = \mu_{c} m g \cos\theta.
Comentário: o atrito atua sempre oposto ao sentido do movimento (aqui, para baixo ao longo do plano).

Passo 5

Aplicar a segunda lei de Newton na direção paralela ao plano para obter a intensidade da força aplicada F. Tomando como positivo o sentido para cima do plano, a soma das forças na direção paralela é:
F - m g \sin\theta - f_{k} = m a.
Agora substituir f_{k} obtido no passo anterior:
F - m g \sin\theta - \mu_{c} m g \cos\theta = m a.
Isolando F:
F = m a + m g \sin\theta + \mu_{c} m g \cos\theta.
Fatorando m:
F = m\bigl(a + g\sin\theta + \mu_{c} g\cos\theta\bigr).
Explicação: essa é a força necessária, além de vencer o peso e o atrito, para produzir a aceleração a.

Passo 6

Relacionar força e trabalho. Como a força aplicada tem direção paralela ao deslocamento d (e é constante), o trabalho realizado pela força aplicada ao longo do deslocamento d é simplesmente:
W_{F} = F d.
Substituindo F da equação do passo anterior:
W_{F} = m d\bigl(a + g\sin\theta + \mu_{c} g\cos\theta\bigr).
Essa é a expressão geral do trabalho em função de m,d,\theta,\mu_{c},g e a.

Passo 7

Substituir o valor numérico dado de a, isto é a=0,2\,g, para simplificar a expressão (se desejado):
W_{F} = m d\Bigl(0,2\,g + g\sin\theta + \mu_{c} g\cos\theta\Bigr).
Fatorando g:
W_{F} = m g d\bigl(0,2 + \sin\theta + \mu_{c}\cos\theta\bigr).
Breve verificação alternativa (didática): usando o teorema trabalho-energia, verifica-se que a soma dos trabalhos das forças (aplicada, peso e atrito) deve ser igual à variação de energia cinética \Delta K. Com v_0=0 e aceleração constante a sobre deslocamento d, tem-se \Delta K = m a d; os trabalhos das forças peso e atrito são -m g d\sin\theta e -\mu_{c} m g \cos\theta\, d. Da equação W_{F} + (-m g d\sin\theta) + (-\mu_{c} m g \cos\theta\, d) = m a d obtém-se a mesma expressão para W_{F} acima, conferindo consistência.

Passo 8

Comentário final e incentivo: o resultado tem interpretação clara: o termo m a d é o trabalho gasto para aumentar a energia cinética (aceleração), o termo m g d\sin\theta é o trabalho gasto contra a gravidade (elevar a caixa), e o termo \mu_{c} m g \cos\theta\, d é o trabalho gasto para vencer o atrito. Está tudo no mesmo sinal positivo porque a força aplicada realiza trabalho positivo para compensar essas demandas. Força! Você já tem a expressão pronta para usar na prova.

Resposta

W_{F} = m d\bigl(a + g\sin\theta + \mu_{c} g\cos\theta\bigr)
W_{F} = m g d\bigl(0,2 + \sin\theta + \mu_{c}\cos\theta\bigr)

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