Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{3}}\,

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{3}} é convergente ou divergente.
Informações dadas:
  • A série é a soma das parcelas \displaystyle \frac{k!}{k^{3}} para k=1,2,3,\dots.
  • Precisa-se decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Primeiro vou explicar um teste muito útil aqui: o Teste da Razão (ou teste de d’Alembert). Para uma série de termos a_k (com a_k\neq0 a partir de algum k), define-se
L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.
As consequências do teste são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1 (ou L=\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Vou usar esse teste porque a presença de k! (fatorial) costuma tornar o quociente a_{k+1}/a_k simples e informativo.

Passo 3

Defino o termo geral
a_k=\frac{k!}{k^{3}}.
Aqui k! significa 1\cdot 2\cdot 3\cdots k. O objetivo é calcular \displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}.

Passo 4

Calculo o quociente entre termos consecutivos:
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\dfrac{(k+1)!}{(k+1)^{3}}}{\dfrac{k!}{k^{3}}} = \frac{(k+1)!\,k^{3}}{(k+1)^{3}\,k!}.
Como (k+1)! = (k+1)\,k!, isso simplifica para
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)\,k^{3}}{(k+1)^{3}} = \frac{k^{3}}{(k+1)^{2}}.

Passo 5

Agora calculo o limite quando k\to\infty. Uma forma clara é fatorar potências de k:
\frac{k^{3}}{(k+1)^{2}} = \frac{k}{\bigl(1+\tfrac{1}{k}\bigr)^{2}}.
Tomando limite,
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{k}{\bigl(1+\tfrac{1}{k}\bigr)^{2}} = \lim_{k\to\infty} k = \infty.
Portanto o limite L do quociente é infinito (ou seja, L>1).

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão: como L=\infty>1, a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k diverge. Intuição: os termos não só não vão a zero, como crescem para o infinito (ou, pelo menos, tornam-se grandes), então a soma não pode convergir.

Passo 7

Comentário didático rápido (jeito ainda mais direto): para qualquer série convergente é necessário que o termo geral tenda a zero. Aqui, a partir do resultado anterior, os termos a_k=\dfrac{k!}{k^{3}} não tendem a zero (na verdade crescem sem limite), então já se conclui a divergência pelo teste do termo geral. Ambos os argumentos (razão e termo geral) confirmam a mesma conclusão.

Resposta

A série é divergente.

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