Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{3}}\,
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{3}} é convergente ou divergente.
Informações dadas:
A série é a soma das parcelas \displaystyle \frac{k!}{k^{3}} para k=1,2,3,\dots.
Precisa-se decidir convergência ou divergência.
Passo 2
Primeiro vou explicar um teste muito útil aqui: o Teste da Razão (ou teste de d’Alembert). Para uma série de termos a_k (com a_k\neq0 a partir de algum k), define-se
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = \lim_{k\to\infty}\frac{k}{\bigl(1+\tfrac{1}{k}\bigr)^{2}} = \lim_{k\to\infty} k = \infty.
Portanto o limite L do quociente é infinito (ou seja, L>1).
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão: como L=\infty>1, a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k diverge. Intuição: os termos não só não vão a zero, como crescem para o infinito (ou, pelo menos, tornam-se grandes), então a soma não pode convergir.
Passo 7
Comentário didático rápido (jeito ainda mais direto): para qualquer série convergente é necessário que o termo geral tenda a zero. Aqui, a partir do resultado anterior, os termos a_k=\dfrac{k!}{k^{3}} não tendem a zero (na verdade crescem sem limite), então já se conclui a divergência pelo teste do termo geral. Ambos os argumentos (razão e termo geral) confirmam a mesma conclusão.