Através do Teste de comparação, determine se a série é convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar, através do Teste de comparação, se ela é convergente ou divergente. Informações claras do enunciado:
- O termo geral é
. - A série é de termos positivos para
suficientemente grande? (essa verificação será feita nos próximos passos). - A tarefa: decidir convergência ou divergência usando algum Teste de Comparação (direto ou por limite).
Passo 2
Verificar sinal e comportamento assintótico do termo geral. Para
temos
, logo
portanto
para todo
. Assim podemos aplicar testes de comparação entre séries de termos positivos.
Intuição rápida: quando
é grande,
é aproximadamente
, então
Isso sugere comparar com a série
.
Passo 3
Lembrar o Teste de Comparação por limite (limit comparison test), que é muito prático aqui:
Se
e
para todo
e
existe e
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Também lembrar do resultado padrão sobre séries p (p-series): a série
converge se, e somente se,
. No nosso caso, para
a série
diverge.
Passo 4
Escolher a série para comparar. Tome
Já que
e a série
é a p-série com
, ela diverge (porque
).
Passo 5
Calcular o limite
.
Escrevendo:
Agora o limite quando
é
Portanto
.
Passo 6
Aplicando o Teste de Comparação por limite: como
, as séries
e
têm o mesmo comportamento. Já sabemos que
diverge (p-série com
). Logo a série original
também diverge.
Observação amigável: a ideia prática é verificar que o termo geral da série problemática se comporta como
quando
é grande; como essa comparação dá um p com
, a divergência é esperada.
Resposta
Divergente