Através do Teste de comparação, determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}}
e pede para determinar, através do Teste de comparação, se ela é convergente ou divergente. Informações claras do enunciado:
  • O termo geral é a_k=\dfrac{k}{k^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}}.
  • A série é de termos positivos para k suficientemente grande? (essa verificação será feita nos próximos passos).
  • A tarefa: decidir convergência ou divergência usando algum Teste de Comparação (direto ou por limite).

Passo 2

Verificar sinal e comportamento assintótico do termo geral. Para k\ge 1 temos k^{\frac{3}{2}}\ge 1, logo
k^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\ge 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0,
portanto a_k>0 para todo k\ge 1. Assim podemos aplicar testes de comparação entre séries de termos positivos.
Intuição rápida: quando k é grande, k^{\frac{3}{2}}-\tfrac{1}{2} é aproximadamente k^{\frac{3}{2}}, então
a_k\approx \frac{k}{k^{\frac{3}{2}}}=k^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{k}}.
Isso sugere comparar com a série \sum \dfrac{1}{\sqrt{k}}.

Passo 3

Lembrar o Teste de Comparação por limite (limit comparison test), que é muito prático aqui:
Se a_k>0 e b_k>0 para todo k e
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}
existe e 0<L<\infty, então as séries \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Também lembrar do resultado padrão sobre séries p (p-series): a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso, para p=\tfrac{1}{2} a série \sum \dfrac{1}{\sqrt{k}} diverge.

Passo 4

Escolher a série para comparar. Tome
b_k=\frac{1}{\sqrt{k}}=k^{-\tfrac{1}{2}}.
Já que b_k>0 e a série \sum b_k é a p-série com p=\tfrac{1}{2}, ela diverge (porque p\le 1).

Passo 5

Calcular o limite \displaystyle L=\lim_{k\to\infty}\dfrac{a_k}{b_k}.
Escrevendo:
\frac{a_k}{b_k} = \frac{\dfrac{k}{k^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}}}{k^{-\frac{1}{2}}} = \frac{k}{k^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}}\cdot k^{\frac{1}{2}} = \frac{k^{\frac{3}{2}}}{\,k^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\,} = \frac{1}{1-\dfrac{1}{2k^{\frac{3}{2}}}}.
Agora o limite quando k\to\infty é
L=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{1-\dfrac{1}{2k^{\frac{3}{2}}}}=\frac{1}{1-0}=1.
Portanto 0<L<\infty.

Passo 6

Aplicando o Teste de Comparação por limite: como L=1\in(0,\infty), as séries \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento. Já sabemos que \sum b_k=\sum \dfrac{1}{\sqrt{k}} diverge (p-série com p=\tfrac{1}{2}\le 1). Logo a série original \sum a_k também diverge.
Observação amigável: a ideia prática é verificar que o termo geral da série problemática se comporta como 1/\sqrt{k} quando k é grande; como essa comparação dá um p com p\le1, a divergência é esperada.

Resposta

Divergente

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