Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5 k}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5k}
é convergente ou divergente. Informação dada: cada termo é \dfrac{1}{5k} para k=1,2,3,\dots. O que se quer: saber o comportamento da soma infinita (converge para um número finito ou diverge para +\infty / não tem soma finita).
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: fatorar a constante \dfrac{1}{5} fora da soma. Isto é permitido porque somas infinitas respeitam multiplicação por constantes:
Explicação didática: se (a_k) é uma sequência de números e c é constante, então \sum c a_k = c\sum a_k. Assim a convergência da série dada depende exatamente da convergência da série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} (a constante \dfrac{1}{5} só escala o valor da soma, não altera se converge ou diverge), desde que a constante seja finita e não nula — aqui \dfrac{1}{5} é finita.
Passo 3
Identificar a série que sobra: \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} é a chamada série harmônica. Conhecimento essencial (declaração): a série harmônica diverge. Agora vou provar isso de forma elementar e clara, usando um argumento por agrupamento que dá uma intuição boa para a prova.
Passo 4
Prova de que a série harmônica diverge (argumento por agrupamento):
Considere as somas parciais até 2^n,
Observe que no m-ésimo grupo (contando a partir de m=1 onde o grupo é só \tfrac{1}{2}) há 2^{m-1} termos e cada termo desse grupo é pelo menos \dfrac{1}{2^m}. Portanto a soma de cada grupo é pelo menos
Como o lado direito 1+\dfrac{n}{2} tende para +\infty quando n\to\infty, segue que S_{2^n}\to+\infty. Logo as somas parciais da série harmônica são arbitrariamente grandes e a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}
diverge.
Comentário didático rápido: esse argumento mostra que a soma não fica presa num número; cada vez que dobramos o número de termos consideramos, adicionamos pelo menos mais \tfrac{1}{2} à soma parcial, então não há nenhuma estabilização.
é uma constante não nula multiplicando uma série divergente, portanto também diverge. Intuição prática: multiplicar por \tfrac{1}{5} só reduz a velocidade de crescimento, mas se a soma original cresce sem limite, a versão escalada também cresce sem limite (apenas 5 vezes mais devagar).
Passo 6
Conclusão e ânimo: a série dada não converge — ela é divergente. Relaxe: essa questão aparece muito em provas por ser direta — reconhecer a forma \dfrac{1}{k} já deveria acender a luzinha de “série harmônica”. Se quiser, dá para decorar: toda série do tipo \sum 1/k^p (série p) converge só se p>1; no caso p=1 diverge.