Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5 k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5k}
é convergente ou divergente. Informação dada: cada termo é \dfrac{1}{5k} para k=1,2,3,\dots. O que se quer: saber o comportamento da soma infinita (converge para um número finito ou diverge para +\infty / não tem soma finita).

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: fatorar a constante \dfrac{1}{5} fora da soma. Isto é permitido porque somas infinitas respeitam multiplicação por constantes:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{5k}=\frac{1}{5}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}.
Explicação didática: se (a_k) é uma sequência de números e c é constante, então \sum c a_k = c\sum a_k. Assim a convergência da série dada depende exatamente da convergência da série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} (a constante \dfrac{1}{5} só escala o valor da soma, não altera se converge ou diverge), desde que a constante seja finita e não nula — aqui \dfrac{1}{5} é finita.

Passo 3

Identificar a série que sobra: \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} é a chamada série harmônica. Conhecimento essencial (declaração): a série harmônica diverge. Agora vou provar isso de forma elementar e clara, usando um argumento por agrupamento que dá uma intuição boa para a prova.

Passo 4

Prova de que a série harmônica diverge (argumento por agrupamento):
Considere as somas parciais até 2^n,
S_{2^n}=\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}.
Escreve-se S_{2^n} agrupando os termos assim:
S_{2^n}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right).
Observe que no m-ésimo grupo (contando a partir de m=1 onde o grupo é só \tfrac{1}{2}) há 2^{m-1} termos e cada termo desse grupo é pelo menos \dfrac{1}{2^m}. Portanto a soma de cada grupo é pelo menos
2^{m-1}\cdot\frac{1}{2^m}=\frac{1}{2}.
Assim, para qualquer n\ge 1,
S_{2^n}\ge 1+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}}_{n\\ \text{vezes}}=1+\frac{n}{2}.
Como o lado direito 1+\dfrac{n}{2} tende para +\infty quando n\to\infty, segue que S_{2^n}\to+\infty. Logo as somas parciais da série harmônica são arbitrariamente grandes e a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}
diverge.
Comentário didático rápido: esse argumento mostra que a soma não fica presa num número; cada vez que dobramos o número de termos consideramos, adicionamos pelo menos mais \tfrac{1}{2} à soma parcial, então não há nenhuma estabilização.

Passo 5

Retornar ao nosso caso: já mostramos que
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}
diverge. Pela regra do fator constante (Passo 2),
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{5k}=\frac{1}{5}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}
é uma constante não nula multiplicando uma série divergente, portanto também diverge. Intuição prática: multiplicar por \tfrac{1}{5} só reduz a velocidade de crescimento, mas se a soma original cresce sem limite, a versão escalada também cresce sem limite (apenas 5 vezes mais devagar).

Passo 6

Conclusão e ânimo: a série dada não converge — ela é divergente. Relaxe: essa questão aparece muito em provas por ser direta — reconhecer a forma \dfrac{1}{k} já deveria acender a luzinha de “série harmônica”. Se quiser, dá para decorar: toda série do tipo \sum 1/k^p (série p) converge só se p>1; no caso p=1 diverge.

Resposta

A série diverge.

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