Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3 k+2}{2 k-1}\right)^{k}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3 k+2}{2 k-1}\right)^{k}
é convergente ou divergente. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série:
  • Termo geral a_k = \left(\dfrac{3 k+2}{2 k-1}\right)^{k} para k=1,2,\dots.
    A tarefa é usar algum método (teste) para concluir convergência ou divergência.

Passo 2

Primeira ideia útil (teste básico): se uma série \sum a_k converge então necessariamente a_k \to 0 quando k\to\infty. Isso é uma condição necessária; se \lim_{k\to\infty} a_k \neq 0 então a série diverge imediatamente. Vou verificar o comportamento de a_k quando k\to\infty.

Passo 3

É conveniente analisar a «raiz k-ésima» do termo, pois aqui o termo é uma potência com expoente k. Definimos
b_k := |a_k|^{1/k} = \left|\left(\frac{3 k+2}{2 k-1}\right)^{k}\right|^{1/k} = \frac{3k+2}{2k-1}.
Agora calculamos o limite de b_k quando k\to\infty. Para isso dividimos numerador e denominador por k:
\lim_{k\to\infty} b_k = \lim_{k\to\infty} \frac{3 + 2/k}{2 - 1/k} = \frac{3}{2}.
Logo \lim_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = \dfrac{3}{2}.

Passo 4

Vou usar o Teste da Raiz (Cauchy): seja L := \limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}.
  • Se L<1 então \sum a_k converge absolutamente.
  • Se L>1 então \sum a_k diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui encontramos L=\dfrac{3}{2}>1. Pelo Teste da Raiz, a série diverge.

Passo 5

Para reforçar e dar uma intuição: como \lim_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = 3/2>1, a sequência base b_k tende a uma constante maior que 1. Assim, para k grande b_k é próximo de 3/2 e positivo, e então
a_k = b_k^{\,k} \approx \left(\frac{3}{2}\right)^{k},
que cresce exponencialmente. Uma maneira mais rigorosa é olhar o logaritmo:
\ln a_k = k\ln\!\left(\frac{3k+2}{2k-1}\right),
e como \ln\!\left(\frac{3k+2}{2k-1}\right)\to\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)>0, o produto k\cdotconstante positiva tende a +\infty, logo \ln a_k\to+\infty e a_k\to+\infty. Em particular a_k não tende a 0, portanto a série não pode convergir.

Passo 6

Resumo final lógico:
  • Pelo Teste da Raiz obtém-se L=\dfrac{3}{2}>1 ⇒ série diverge.
  • Alternativamente, a_k\not\to0 (na verdade a_k\to\infty) ⇒ série diverge pelo teste da divergência.

Resposta

Divergente.

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