Através da derivada, encontre os intervalos em que a função é crescente, decrescente ou constante de
c)

Passo 1

Temos a função h(x)=3x^4+4x^3-12x^2+2. O objetivo é usar derivada para achar os intervalos de crescimento, decrescimento e constância. Para isso, vamos lembrar que uma função é crescente quando h'(x)>0, decrescente quando h'(x)<0 e constante quando h'(x)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de h(x). Aplicando a regra de potência em cada termo, obtemos
h'(x)=12x^3+12x^2-24x

Passo 3

Fatoramos h'(x) para encontrar os pontos críticos. Colocando 12x em evidência, fica
h'(x)=12x(x^2+x-2)=12x(x+2)(x-1)
Os zeros da derivada são x=-2, x=0 e x=1.

Passo 4

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Montamos uma análise de sinais:
  • Para x<-2: x<0, x+2<0, x-1<0 ⇒ produto negativo ⇒ h'<0.
  • Para -2: x<0, x+2>0, x-1<0 ⇒ produto positivo ⇒ h'>0.
  • Para 0: x>0, x+2>0, x-1<0 ⇒ produto negativo ⇒ h'<0.
  • Para x>1: x>0, x+2>0, x-1>0 ⇒ produto positivo ⇒ h'>0.

Passo 5

Concluímos os intervalos de monotonicidade de h:
  • Crescente onde h'>0, ou seja, em -2,x<0 e em x>1.
  • Decrescente onde h'<0, ou seja, em x<-2 e em 0.
    Não há intervalos de constância, apenas pontos isolados onde h'=0.

Resposta

h é crescente em (-2,0) ∪ (1,∞), decrescente em (-∞,-2) ∪ (0,1) e não possui intervalos de constância.

Exercícios relacionados