Encontre as soluções permanentes (temperaturas) na chapa quadrada com lados de tamanho 2 satisfazendo às seguintes condições de contorno. Represente graficamente as isotermas.
T=sen pi x no lado superior e 0 nos demais lados.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a temperatura estacionária numa placa quadrada 0≤x≤2, 0≤y≤2, resolvendo a equação de Laplace com contorno T(x,2)=sen(πx) e T=0 nos outros três lados. Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em funções seno.

Passo 2

Postulamos uma solução do tipo T(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo em ∂²T/∂x²+∂²T/∂y²=0 obtemos X’’/X=−Y’’/Y=−λ. Como T=0 em x=0 e x=2, as funções próprias em x são Xₙ(x)=sin(nπx/2) com autovalores λₙ=(nπ/2)².
Para cada modo n, a parte em y satisfaz Y’'−(nπ/2)²Y=0, cuja solução geral é Yₙ(y)=Aₙ sinh(nπy/2)+Bₙ cosh(nπy/2). A condição T(x,0)=0 força Yₙ(0)=0 ⇒ Bₙ=0, ficando Yₙ(y)=Aₙ sinh(nπy/2).

Passo 3

Logo a solução geral é T(x,y)=∑_{n=1}^∞ Cₙ sin(nπx/2) sinh(nπy/2). Para ajustar a condição no topo y=2, exigimos ∑ Cₙ sinh(nπ) sin(nπx/2)=sen(πx).
Expandimos sen(πx) em série de sen(nπx/2) em 0≤x≤2. Pela ortogonalidade, só o termo n=2 aparece, com coeficiente 1, pois sen(πx)=sin(2·πx/2). Assim C₂ sinh(2π)=1 ⇒ C₂=1/sinh(2π) e Cₙ=0 para n≠2.

Passo 4

Portanto a solução estacionária é T(x,y)= T(x,y)=sin(pi x),sinh(pi y)sinh(2pi)
As isotermas T=const definem curvas de nível
sin(pi x)sinh(pi y)sinh(2pi)=C
que podem ser representadas por
y=1piarcsinhl(C,sinh(2pi)/sin(pi x)r)
traçando-se para vários valores de C entre 0 e 1.

Resposta

A solução permanente é
T(x,y)=sin(pi x),sinh(pi y)sinh(2pi)
e as isotermas são dadas pelas curvas de nível
sin(pi x)sinh(pi y)=C,sinh(2pi),0

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