Através de diferenciais, calcule o valor aproximado de:
cos (44,5). Considere raiz3 cong 1,7 e pi cong 3,14.
DICA: para calcular o seno, precisamos lembrar que as funções trigonométricas tem por argumento um número real que representa a medida de um arco em graus, portanto, se f(x)=sen(x), temos que f^prime(x)=pi180 cdot cos (x) em graus. A mesma analogia vale para o cosseno. Use uma calculadora.

Passo 1

O exercício pede para aproximar cos(44,5^circ) usando diferenciais em graus, sabendo que em graus o derivado de cos(x) é dado por f'(x)=-(pi/180)sin(x). Vamos usar a linearização em torno de um ponto próximo de 44,5°, que é 45°.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para f(x)=cos(x) (com x em graus) vale
f'(x)=-pi180sin(x)

Passo 3

Escolhemos o ponto base x0=45^circ e De. Precisamos de:
  • f(x0)=cos(45^circ)
  • f'(x0)=-pi180sin(45^circ).

Passo 4

Aplicando a aproximação linear:
cos(44,5^circ)approxcos(45^circ)+f'(45^circ),De
e substituindo os valores:

Passo 5

Usando piapprox3,14, pi/180approx0,01744, e sin(45^circ)=cos(45^circ)=raiz22approx0,7071, temos
f'(45^circ)=-0,01744times0,7071approx-0,01233,
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cos(44,5^circ)approx0,7071+(-0,01233)times(-0,5)approx0,7071+0,006165=0,7133

Resposta

cos(44,5^circ)approx0,7133

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