Dado o campo escalar
e o campo vetorial
Calcule a integral de linha
, onde
é a curva que tem origem no ponto
e extremidade no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde temos um campo escalar
e um campo vetorial
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha de um campo vetorial conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir um potencial escalar
tal que
, ou seja, se as componentes de
forem as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
:
Comparando com
, vemos que
. Então,
é um campo conservativo.
Passo 4
Para calcular a integral de linha de um campo conservativo, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:
Onde
é o ponto inicial e
é o ponto final da curva
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
A integral de linha é: