Dado o campo escalar phi(x, y)=x^2-3 x y+2 y^2-8 y e o campo vetorial
F(x, y)=(2 x-3 y) i+(-3 x+4 y-8) j
Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde C é a curva que tem origem no ponto A=(0,2) e extremidade no ponto B=(3,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde temos um campo escalar phi(x, y) = x^2 - 3xy + 2y^2 - 8y e um campo vetorial F(x, y) = (2x - 3y) i + (-3x + 4y - 8) j. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha de um campo vetorial conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir um potencial escalar phi tal que F = nabla phi, ou seja, se as componentes de F forem as derivadas parciais de phi.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de phi:
partial phipartial x = 2x - 3y
partial phipartial y = -3x + 4y - 8
Comparando com F(x, y) = (2x - 3y) i + (-3x + 4y - 8) j, vemos que F = nabla phi. Então, F é um campo conservativo.

Passo 4

Para calcular a integral de linha de um campo conservativo, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que diz que:
integralC F cdot d r = phi(B) - phi(A)
Onde A é o ponto inicial e B é o ponto final da curva C.

Passo 5

Agora, vamos calcular phi nos pontos A = (0, 2) e B = (3, 1).
Para A = (0, 2):
phi(0, 2) = (0)^2 - 3 cdot 0 cdot 2 + 2 cdot (2)^2 - 8 cdot 2 = 0 - 0 + 8 - 16 = -8
Para B = (3, 1):
phi(3, 1) = (3)^2 - 3 cdot 3 cdot 1 + 2 cdot (1)^2 - 8 cdot 1 = 9 - 9 + 2 - 8 = -6

Resposta

A integral de linha é:
integralC F cdot d r = phi(B) - phi(A) = (-6) - (-8) = 2

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