Sejam f e g deriváveis e com derivadas contínuas. Sabendo que f(3)=0, g(3)=0, f^prime(3)=4 e g^prime(3)=5, podemos afirmar que lim x 1 f(1+2 x)g(2+x) é?

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
f(3)=g(3)=0
sabendo que f'(3)=4 e g'(3)=5, . Isso é um problema de limite na forma 0/0, onde vamos usar a regra de L’Hôpital e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
xto1
e
h(1)=f(3)=0.
Quando k(1)=g(3)=0, temos limxto1h(x)k(x) = h'(1)k'(1) e , ou seja, dá 0/0. Pela regra de L’Hôpital:

Passo 3

Para achar as derivadas usamos a regra da cadeia. Temos:
tfrac85
e
.
Logo:

e
.
Portanto o limite é .

Resposta

85

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