Considere a função definida por
.
Determine o polinómio de Taylor de
de ordem 3 em torno de zero.
Determine o polinómio de Taylor de
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício que fala sobre a função $ f(x) = 10 \sqrt{1+x} $. O que a gente precisa fazer é encontrar o polinômio de Taylor dessa função até a terceira potência, ou seja, de ordem 3, em torno de zero. Isso significa que vamos aproximar a função por um polinômio que use termos até $ x^3 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para achar o polinômio de Taylor de ordem 3, precisamos calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar todas elas em $ x = 0 $.
Passo 3
Começamos calculando $ f(0) $:
Passo 4
Agora, vamos achar a primeira derivada de $ f(x) $:
Avaliada em $ x = 0 $:
Passo 5
Seguimos para a segunda derivada:
Avaliada em $ x = 0 $:
Passo 6
Agora, a terceira derivada:
Avaliada em $ x = 0 $:
Passo 7
Agora que temos todas as derivadas avaliadas em 0, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
Substituindo os valores:
Passo 8
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 para $ f(x) = 10 \sqrt{1+x} $ em torno de zero é: