Considere a função definida por f(x)=10 raiz1+x.
Determine o polinómio de Taylor de f de ordem 3 em torno de zero.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício que fala sobre a função $ f(x) = 10 \sqrt{1+x} $. O que a gente precisa fazer é encontrar o polinômio de Taylor dessa função até a terceira potência, ou seja, de ordem 3, em torno de zero. Isso significa que vamos aproximar a função por um polinômio que use termos até $ x^3 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para achar o polinômio de Taylor de ordem 3, precisamos calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar todas elas em $ x = 0 $.

Passo 3

Começamos calculando $ f(0) $:
f(0)

Passo 4

Agora, vamos achar a primeira derivada de $ f(x) $:
f(x)
Avaliada em $ x = 0 $:
f'(x) = 10 times 12(1+x)^-1/2 = 102 (1+x)^-1/2 = 5(1+x)^-1/2

Passo 5

Seguimos para a segunda derivada:
f''(x) = 5 times ( -12 ) (1+x)^-3/2 = -52 (1+x)^-3/2
Avaliada em $ x = 0 $:
x = 0

Passo 6

Agora, a terceira derivada:
f'''(x) = -52 times ( -32 ) (1+x)^-5/2 = 154 (1+x)^-5/2
Avaliada em $ x = 0 $:
x = 0

Passo 7

Agora que temos todas as derivadas avaliadas em 0, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
P3(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2!x^2 + f'''(0)3!x^3
Substituindo os valores:
P3(x) = 10 + 5x + -522x^2 + 1546x^3

Passo 8

Simplificando os coeficientes:
P3(x) = 10 + 5x - 54x^2 + 1524x^3 = 10 + 5x - 54x^2 + 58x^3

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 para $ f(x) = 10 \sqrt{1+x} $ em torno de zero é:
f(x) = 10 raiz1+x

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