Através da fórmula de Wien:
\rho(v, T)=\alpha v^{3} \exp \left(-\beta \frac{v}{T}\right)
e a relação obtida por Planck entre a densidade de energia da radiação \rho(v, T) e a energia média \bar{u} do oscilador, mostre que a entropia do oscilador pode ser escrita como
S=-\frac{\bar{u}}{\beta v} \ln \left(\frac{\bar{u}}{A e v}\right)
onde \mathrm{A}=\alpha c^{3} / 8 \pi e e é a base do logaritmo natural. Esta fórmula da entropia vai ser importante no desenvolvimento das ideias de Einstein acerca da hipótese do quantum de luz. A relação termodinâmica que deve ser usada é:
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V}

Passo 1

O enunciado dá duas fórmulas e pede para obter a entropia do oscilador S em função da energia média \bar{u} e da frequência v. As informações relevantes são:
  • Lei de Wien:
\rho(v,T)=\alpha v^{3}\exp\!\left(-\beta\frac{v}{T}\right),
onde \rho(v,T) é a densidade de energia da radiação por unidade de frequência, \alpha e \beta são constantes e T é a temperatura.
  • Relação de Planck entre a densidade de energia e a energia média do oscilador (peguei esta relação da teoria das cavidades e modos eletromagnéticos):
\rho(v,T)=\frac{8\pi v^{2}}{c^{3}}\,\bar{u}(v,T),
onde \bar{u} é a energia média de um oscilador de frequência v em equilíbrio térmico com a radiação e c é a velocidade da luz. (A constante \frac{8\pi v^{2}}{c^{3}} é a densidade de modos eletromagnéticos por unidade de volume e por unidade de frequência.)
  • Relação termodinâmica a usar:
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V},
aqui U é a energia interna do sistema — para o oscilador consideramos U=\bar{u} e S=S(\bar{u}) à frequência v fixa.
Também foi indicado que \displaystyle A=\frac{\alpha c^{3}}{8\pi}. O objetivo final é mostrar que
S=-\frac{\bar{u}}{\beta v}\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A e v}\right).

Passo 2

Primeiro relacionar \bar{u} com T usando Wien + Planck.
Começo igualando as duas expressões para \rho(v,T):
\frac{8\pi v^{2}}{c^{3}}\,\bar{u}=\alpha v^{3}\exp\!\left(-\beta\frac{v}{T}\right).
Isolando \bar{u}:
\bar{u}=\frac{\alpha c^{3}}{8\pi}\,v\exp\!\left(-\beta\frac{v}{T}\right).
Reconhecendo a definição dada de A, isto é \displaystyle A=\frac{\alpha c^{3}}{8\pi}, obtemos a forma simples
\bar{u}=A v\exp\!\left(-\beta\frac{v}{T}\right).

Passo 3

Invertendo essa relação para obter 1/T em função de \bar{u} e v.
Da expressão anterior,
\frac{\bar{u}}{A v}=\exp\!\left(-\beta\frac{v}{T}\right).
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A v}\right)=-\beta\frac{v}{T}.
Portanto
\frac{1}{T}=-\frac{1}{\beta v}\,\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A v}\right).
Isto expressa 1/T puramente em termos de \bar{u} (variável energética) e v (frequência fixa).

Passo 4

Agora usar a relação termodinâmica \displaystyle \frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V}. Identificando U=\bar{u} (energia do oscilador) e lembrando que v é constante no processo, temos a equação diferencial para S(\bar{u}):
\frac{dS}{d\bar{u}}=-\frac{1}{\beta v}\,\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A v}\right).

Passo 5

Integrar a equação para obter S(\bar{u}).
Temos que integrar
dS=-\frac{1}{\beta v}\,\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A v}\right)\,d\bar{u}.
Para integrar, faço a substituição auxiliar x=\dfrac{\bar{u}}{A v}. Então d\bar{u}=A v\,dx. A integral de \ln x é bem conhecida:
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C.
Aplicando a substituição:
S=-\frac{1}{\beta v}\cdot A v\int \ln x\,dx + C = -\frac{A v}{\beta v}\Big(x\ln x - x\Big)+C.
Voltando a \bar{u} (já que x=\bar{u}/(A v)):
S=-\frac{1}{\beta}\Big(\frac{\bar{u}}{A v}\ln\!\frac{\bar{u}}{A v}-\frac{\bar{u}}{A v}\Big)+C.
Multiplicando os termos:
S=-\frac{\bar{u}}{\beta v}\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A v}\right)+\frac{\bar{u}}{\beta v}+C.

Passo 6

Escolha da constante de integração C.
Para fixar C é natural exigir que a entropia tenda a zero quando a energia média do oscilador tende a zero ( \bar{u}\to 0). O comportamento limite relevante é \bar{u}\ln\bar{u}\to 0 quando \bar{u}\to 0^{+}, então a escolha C=0 faz S\to 0 nesse limite e é a escolha física usual. Com C=0 reescrevemos a expressão combinando o segundo termo com o log:
Observando que \ln(A e v)=\ln(A v)+1, temos
-\frac{\bar{u}}{\beta v}\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A e v}\right) =-\frac{\bar{u}}{\beta v}\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A v}\right)+\frac{\bar{u}}{\beta v}.
Portanto a expressão encontrada se arruma exatamente na forma pedida:
S=-\frac{\bar{u}}{\beta v}\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A e v}\right).

Resposta

S=-\frac{\bar{u}}{\beta v}\ln\!\left(\frac{\bar{u}}{A e v}\right)

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