Através da fórmula de Wien:
e a relação obtida por Planck entre a densidade de energia da radiação
e a energia média
do oscilador, mostre que a entropia do oscilador pode ser escrita como
onde
e
é a base do logaritmo natural. Esta fórmula da entropia vai ser importante no desenvolvimento das ideias de Einstein acerca da hipótese do quantum de luz. A relação termodinâmica que deve ser usada é:
Passo 1
O enunciado dá duas fórmulas e pede para obter a entropia do oscilador
em função da energia média
e da frequência
. As informações relevantes são:
- Lei de Wien:
onde
é a densidade de energia da radiação por unidade de frequência,
e
são constantes e
é a temperatura.
- Relação de Planck entre a densidade de energia e a energia média do oscilador (peguei esta relação da teoria das cavidades e modos eletromagnéticos):
onde
é a energia média de um oscilador de frequência
em equilíbrio térmico com a radiação e
é a velocidade da luz. (A constante
é a densidade de modos eletromagnéticos por unidade de volume e por unidade de frequência.)
- Relação termodinâmica a usar:
aqui
é a energia interna do sistema — para o oscilador consideramos
e
à frequência
fixa.
Também foi indicado que
. O objetivo final é mostrar que
Passo 2
Primeiro relacionar
com
usando Wien + Planck.
Começo igualando as duas expressões para
:
Isolando
:
Reconhecendo a definição dada de
, isto é
, obtemos a forma simples
Passo 3
Invertendo essa relação para obter
em função de
e
.
Da expressão anterior,
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Portanto
Isto expressa
puramente em termos de
(variável energética) e
(frequência fixa).
Passo 4
Agora usar a relação termodinâmica
. Identificando
(energia do oscilador) e lembrando que
é constante no processo, temos a equação diferencial para
:
Passo 5
Integrar a equação para obter
.
Temos que integrar
Para integrar, faço a substituição auxiliar
. Então
. A integral de
é bem conhecida:
Aplicando a substituição:
Voltando a
(já que
):
Multiplicando os termos:
Passo 6
Escolha da constante de integração
.
Para fixar
é natural exigir que a entropia tenda a zero quando a energia média do oscilador tende a zero (
). O comportamento limite relevante é
quando
, então a escolha
faz
nesse limite e é a escolha física usual. Com
reescrevemos a expressão combinando o segundo termo com o log:
Observando que
, temos
Portanto a expressão encontrada se arruma exatamente na forma pedida: