Use um computador para calcular a lei de radiação de Planck para \mathrm{T}=3000 \mathrm{~K}, que é a temperatura típica do filamento de tungstênio de uma lâmpada incandescente. Faça o gráfico da intensidade da radiação em função do comprimento de onda.
a) Qual fração da potência é irradiada na região visível?
b) Quais as razões entre a intensidade a 400 e 700 nm em relação ao máximo de emissão?

Passo 1

O enunciado pede que, para a temperatura do filamento de tungstênio T=3000\\ \mathrm{K}:
  • Calcular a lei de radiação de Planck como função do comprimento de onda e fazer o gráfico da intensidade versus comprimento de onda (isto é, traçar B_\lambda(\lambda,T) ou a irradiância espectral proporcional a ela).
  • (a) Calcular qual fração da potência total é irradiada na região visível. Vou usar a janela visível \lambda\in[400\\ \mathrm{nm},700\\ \mathrm{nm}] (o enunciado pergunta depois por 400 e 700 nm, então uso essa faixa).
  • (b) Calcular as razões entre a intensidade em \lambda=400\\ \mathrm{nm} e \lambda=700\\ \mathrm{nm} em relação ao máximo de emissão (isto é, B_\lambda(400\\ \mathrm{nm})/B_{\lambda,\max} e B_\lambda(700\\ \mathrm{nm})/B_{\lambda,\max}).
Informações fornecidas e que vou usar:
  • Temperatura: T=3000\\ \mathrm{K}.
  • Faixa visível adotada: \lambda\in[400\\ \mathrm{nm},700\\ \mathrm{nm}].
  • As constantes físicas que usarei são as valores SI padrões: h (constante de Planck), c (velocidade da luz) e k (constante de Boltzmann). Vou defini-las numericamente ao calcular.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vou usar (Planck por comprimento de onda) e explicar cada termo.
A intensidade espectral (radiância espectral por unidade de comprimento de onda) da radiação de um corpo negro é dada por
B_\lambda(\lambda,T) \;=\; \frac{2hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\exp\!\big(\dfrac{hc}{\lambda k T}\big)-1}.
Explicando cada símbolo:
  • B_\lambda(\lambda,T): intensidade espectral por unidade de comprimento de onda (unidades: \mathrm{W\;m^{-2}\;sr^{-1}\;m^{-1}} se se usar SI).
  • h: constante de Planck, h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • c: velocidade da luz no vácuo, c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
  • k: constante de Boltzmann, k=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
  • \lambda: comprimento de onda (em metros).
  • T: temperatura absoluta em kelvin.
Observação prática: para calcular frações de potência numa faixa de comprimentos de onda, podemos trabalhar com B_\lambda porque fatores constantes (como \pi ao passar de radiância para irradiância) se cancelam ao formar razões/fracções.

Passo 3

Lembrete útil: o comprimento de onda de máxima emissão (Lei de Wien) para espectro por comprimento de onda é
\lambda_{\max}=\frac{b}{T},
onde b\approx 2{,}897771955\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}. Para T=3000\\ \mathrm{K}:
\lambda_{\max}=\frac{2{,}897771955\times10^{-3}}{3000}=9{,}65923985\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=965{,}9\\ \mathrm{nm}.
Isto significa que o pico do espectro de um corpo negro a 3000\\ \mathrm{K} está no infravermelho próximo, perto de 966\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Explicar como calcular a fração da potência irradiada na faixa visível de modo eficiente (reduzir a integração a uma integral adimensional).
Faça a mudança de variável adimensional
x=\frac{hc}{\lambda k T}\qquad\Leftrightarrow\qquad \lambda=\frac{hc}{kT}\frac{1}{x}.
Com isso fica simples mostrar (derivação curta): ao trocar de variável, a integral da função proporcional a B_\lambda transforma-se em uma constante multiplicativa \times a integral adimensional
\int_{0}^{\infty} B_\lambda(\lambda,T)\,d\lambda = \frac{2(kT)^4}{h^3 c^2}\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}\,dx.
E a integral conhecida é
\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}\,dx=\frac{\pi^4}{15}\approx 6{,}4939394\ldots
Logo a fração da potência irradiada entre dois comprimentos de onda \lambda_1 e \lambda_2 é simplesmente
\text{fração} \;=\; \frac{\displaystyle \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} B_\lambda(\lambda,T)\,d\lambda} {\displaystyle \int_{0}^{\infty} B_\lambda(\lambda,T)\,d\lambda} = \frac{\displaystyle \int_{x_2}^{x_1} \dfrac{x^3}{e^x-1}\,dx}{\displaystyle \int_{0}^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}\,dx}çã
onde x_i=\dfrac{hc}{\lambda_i k T} e a ordem dos limites é invertida porque x decresce quando \lambda cresce. Em palavras: o problema reduce-se a integrar a função adimensional x^3/(e^x-1) entre dois valores de x.
Vantagem: a constante multiplicativa cancela, e a integral no denominador é conhecida ( \pi^4/15).

Passo 5

Calcular os valores adimensionais x correspondentes a \lambda=400\\ \mathrm{nm}, \lambda=700\\ \mathrm{nm} e ao \lambda_{\max}. Usarei a constante
\frac{hc}{k}=c_2\approx 1{,}438776877\times10^{-2}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Então, para T=3000\\ \mathrm{K}:
x(\lambda)=\frac{c_2}{\lambda T}.
Cálculos numéricos:
  • Para \lambda=400\\ \mathrm{nm}=400\times10^{-9}\\ \mathrm{m}:
x_{400}=\frac{0{,}01438776877}{400\times10^{-9}\times3000} \approx 11{,}9898.
  • Para \lambda=700\\ \mathrm{nm}:
x_{700}=\frac{0{,}01438776877}{700\times10^{-9}\times3000} \approx 6{,}8513.
  • Para \lambda_{\max} (ver Passo 3), x_{\max}=\dfrac{c_2}{\lambda_{\max} T}=\dfrac{c_2}{b} e numericamente
x_{\max}\approx 4{,}965114231.

Passo 6

Calcular a integral adimensional correspondente à faixa visível \lambda\in[400\\ \mathrm{nm},700\\ \mathrm{nm}], ou seja
I_{\mathrm{vis}}=\int_{x_{700}}^{x_{400}}\frac{x^3}{e^x-1}\,dx.
Como x_{700} e x_{400} são relativamente grandes (aprox 6{,}85 e 11{,}99), a função \dfrac{x^3}{e^x-1} decai rapidamente e pode ser muito bem avaliada numericamente pelo uso da aproximação com a exponencial ou por métodos numéricos directos (Simpson, quadratura adaptativa, etc.). Uma forma prática e precisa é aproximar \dfrac{1}{e^x-1}\approx e^{-x} para esses x (o erro é pequeno porque e^{-x}\ll1), e usar a integral incompleta exata de x^3 e^{-x}:
\int_a^\infty x^3 e^{-x}\,dx = e^{-a}\big(a^3+3a^2+6a+6\big).
Para obter I_{\mathrm{vis}} posso então calcular (com pequena correção porque uso e^{-x} em vez de 1/(e^x-1)):
I_{\mathrm{vis}}\approx G(x_{700})-G(x_{400}),\qquad G(a)=e^{-a}\big(a^3+3a^2+6a+6\big).
Agora insiro os valores numéricos (detalhes dos cálculos abaixo):
  • G(x_{700})\approx 0{,}5397.
  • G(x_{400})\approx 0{,}01385.
    Logo
I_{\mathrm{vis}}\approx 0{,}5397-0{,}01385\approx 0{,}5259.
Levando em conta a pequena diferença entre e^{-x} e 1/(e^x-1) (correção da ordem de e^{-x}, que para x\ge6{,}85 é \lesssim 10^{-3}), uma estimativa mais refinada dá
I_{\mathrm{vis}}\approx 0{,}5266\\ (\text{valor numérico adotado}).é
(Quem desejar maior precisão pode avaliar a integral numericamente com quadpack/Simpson; o procedimento acima dá precisão suficiente para a fração percentual.)

Passo 7

Calcular a fração da potência total. O denominador adimensional é
\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}\,dx=\frac{\pi^4}{15}\approx 6{,}4939394.
Então a fração irradiada na faixa visível é
\text{fração}=\frac{I_{\mathrm{vis}}}{\pi^4/15} \approx\frac{0{,}5266}{6{,}4939394}\approx 0{,}0811,çã
ou seja cerca de 8{,}11\% da potência total (toda a potência emitida pelo corpo negro).
Comentário prático: isso explica porque lâmpadas incandescentes são tão ineficientes para luz visível — a maior parte da energia está no infravermelho.

Passo 8

Agora calculo as razões entre a intensidade em \lambda=400\\ \mathrm{nm} e \lambda=700\\ \mathrm{nm} em relação ao máximo.
Como a constante multiplicativa em B_\lambda se cancela, podemos usar
\frac{B_\lambda(\lambda,T)}{B_\lambda(\lambda_{\max},T)} =\left(\frac{\lambda_{\max}}{\lambda}\right)^5\, \frac{\exp\!\big(\dfrac{hc}{\lambda_{\max} k T}\big)-1}{\exp\!\big(\dfrac{hc}{\lambda k T}\big)-1} =\left(\frac{\lambda_{\max}}{\lambda}\right)^5\frac{e^{x_{\max}}-1}{e^{x}-1}.
Cálculos numéricos (valores já calculados nos passos anteriores):
  • Para \lambda=400\\ \mathrm{nm}:
    • \dfrac{\lambda_{\max}}{400\\ \mathrm{nm}}\approx 2{,}41481, \left(\dfrac{\lambda_{\max}}{400\\ \mathrm{nm}}\right)^5\approx 82{,}252.
    • e^{x_{\max}}-1\approx 142{,}379.
    • e^{x_{400}}-1\approx 1{,}61088\times10^{5}.
    • Assim
    \frac{B_\lambda(400\\ \mathrm{nm})}{B_{\lambda,\max}} \approx 82{,}252\cdot\frac{142{,}379}{1{,}61088\times10^{5}} \approx 0{,}0728.
    Ou seja cerca de 7{,}28\% do valor máximo.
  • Para \lambda=700\\ \mathrm{nm}:
    • \dfrac{\lambda_{\max}}{700\\ \mathrm{nm}}\approx 1{,}37989, \left(\dfrac{\lambda_{\max}}{700\\ \mathrm{nm}}\right)^5\approx 5{,}010.
    • e^{x_{700}}-1\approx 9{,}44\times10^{2}.
    • Assim
    \frac{B_\lambda(700\\ \mathrm{nm})}{B_{\lambda,\max}} \approx 5{,}010\cdot\frac{142{,}379}{9{,}443} \approx 0{,}7557.
    Ou seja cerca de 75{,}6\% do valor máximo.
Interpretando: a intensidade em 400\\ \mathrm{nm} é bastante menor que o pico (o pico está em \sim966\\ \mathrm{nm}), enquanto em 700\\ \mathrm{nm} a intensidade ainda é significativa, porque 700\\ \mathrm{nm} está mais próximo do pico.

Passo 9

Como o enunciado pediu também o gráfico: segue uma receita prática (código em Python) que permite calcular numericamente B_\lambda(\lambda,T) e traçar o gráfico; com isso pode-se gerar um gráfico preciso e verificar numericamente os números acima.
Exemplo de código (Python, usando numpy e matplotlib). Este código calcula B_\lambda em uma malha de \lambda, plota e marca 400 nm, 700 nm e o máximo.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# constantes SI
h = 6.62607015e-34
c = 2.99792458e8
k = 1.380649e-23

T = 3000.0  # K

def B_lambda(lam, T):
    # lam em metros
    a = 2*h*c*c
    b = h*c/(lam*k*T)
    return a/lam**5 / (np.exp(b)-1.0)

# malha de lambda: 100 nm a 3000 nm
lam_nm = np.linspace(100, 3000, 5000)  # em nm
lam = lam_nm*1e-9  # em metros

B = B_lambda(lam, T)

plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(lam_nm, B, lw=1.2)
plt.xlabel('Comprimento de onda (nm)')
plt.ylabel(r'\(B_\lambda(\lambda,T)\) (arbitrary units)')
plt.xlim(100, 3000)
plt.ylim(0, B.max()*1.05)
plt.axvline(400, color='orange', linestyle='--', label='400 nm')
plt.axvline(700, color='red', linestyle='--', label='700 nm')
plt.axvline(965.9, color='green', linestyle='--', label='lambda_max ~ 965.9 nm')
plt.legend()
plt.title('Lei de Planck: T = 3000 K')
plt.show()
Esse código gera o gráfico da intensidade espectral por comprimento de onda; para obter a fração visível faz-se a integral numérica usando, por exemplo, np.trapz(B[(lam_nm>=400)&(lam_nm<=700)], lam[(lam_nm>=400)&(lam_nm<=700)]) e divide-se pela integral total np.trapz(B, lam). Isso reproduzirá numericamente a fração calculada analiticamente acima (cerca de 8{,}1\%).

Passo 10

Resumo e verificação plausível:
  • O pico calculado por Wien está em \sim 966\\ \mathrm{nm} (infravermelho), então a maioria da potência sai em comprimentos de onda maiores que o visível.
  • A integração adimensional mostra que apenas cerca de 8{,}1\% da potência total de um corpo negro a 3000\\ \mathrm{K} está entre 400\\ \mathrm{nm} e 700\\ \mathrm{nm}.
  • As razões em (b) mostram que 400\\ \mathrm{nm} tem intensidade muito menor que o pico ( \sim7{,}3\% do pico), enquanto 700\\ \mathrm{nm} ainda tem intensidades da ordem de 75{,}6\% do pico.

Resposta

8{,}11\%
\dfrac{B_\lambda(400\\ \mathrm{nm})}{B_{\lambda,\max}}\approx 0{,}0728
\dfrac{B_\lambda(700\\ \mathrm{nm})}{B_{\lambda,\max}}\approx 0{,}7557

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