Use um computador para calcular a lei de radiação de Planck para
, que é a temperatura típica do filamento de tungstênio de uma lâmpada incandescente. Faça o gráfico da intensidade da radiação em função do comprimento de onda.
a) Qual fração da potência é irradiada na região visível?
b) Quais as razões entre a intensidade a 400 e 700 nm em relação ao máximo de emissão?
a) Qual fração da potência é irradiada na região visível?
b) Quais as razões entre a intensidade a 400 e 700 nm em relação ao máximo de emissão?
Passo 1
O enunciado pede que, para a temperatura do filamento de tungstênio
:
- Calcular a lei de radiação de Planck como função do comprimento de onda e fazer o gráfico da intensidade versus comprimento de onda (isto é, traçar
ou a irradiância espectral proporcional a ela). - (a) Calcular qual fração da potência total é irradiada na região visível. Vou usar a janela visível
(o enunciado pergunta depois por 400 e 700 nm, então uso essa faixa). - (b) Calcular as razões entre a intensidade em
e em relação ao máximo de emissão (isto é, e ).
Informações fornecidas e que vou usar:
- Temperatura:
. - Faixa visível adotada:
. - As constantes físicas que usarei são as valores SI padrões:
(constante de Planck), (velocidade da luz) e (constante de Boltzmann). Vou defini-las numericamente ao calcular.
Passo 2
Apresentar a fórmula que vou usar (Planck por comprimento de onda) e explicar cada termo.
A intensidade espectral (radiância espectral por unidade de comprimento de onda) da radiação de um corpo negro é dada por
Explicando cada símbolo:
-
: intensidade espectral por unidade de comprimento de onda (unidades: se se usar SI). -
: constante de Planck, . -
: velocidade da luz no vácuo, . -
: constante de Boltzmann, . -
: comprimento de onda (em metros). -
: temperatura absoluta em kelvin.
Observação prática: para calcular frações de potência numa faixa de comprimentos de onda, podemos trabalhar com
porque fatores constantes (como
ao passar de radiância para irradiância) se cancelam ao formar razões/fracções.
Passo 3
Lembrete útil: o comprimento de onda de máxima emissão (Lei de Wien) para espectro por comprimento de onda é
onde
. Para
:
Isto significa que o pico do espectro de um corpo negro a
está no infravermelho próximo, perto de
.
Passo 4
Explicar como calcular a fração da potência irradiada na faixa visível de modo eficiente (reduzir a integração a uma integral adimensional).
Faça a mudança de variável adimensional
Com isso fica simples mostrar (derivação curta): ao trocar de variável, a integral da função proporcional a
transforma-se em uma constante multiplicativa
a integral adimensional
E a integral conhecida é
Logo a fração da potência irradiada entre dois comprimentos de onda
e
é simplesmente
onde
e a ordem dos limites é invertida porque
decresce quando
cresce. Em palavras: o problema reduce-se a integrar a função adimensional
entre dois valores de
.
Vantagem: a constante multiplicativa cancela, e a integral no denominador é conhecida (
).
Passo 5
Calcular os valores adimensionais
correspondentes a
,
e ao
. Usarei a constante
Então, para
:
Cálculos numéricos:
- Para
:
- Para
:
- Para
(ver Passo 3), e numericamente
Passo 6
Calcular a integral adimensional correspondente à faixa visível
, ou seja
Como
e
são relativamente grandes (aprox
e
), a função
decai rapidamente e pode ser muito bem avaliada numericamente pelo uso da aproximação com a exponencial ou por métodos numéricos directos (Simpson, quadratura adaptativa, etc.). Uma forma prática e precisa é aproximar
para esses
(o erro é pequeno porque
), e usar a integral incompleta exata de
:
Para obter
posso então calcular (com pequena correção porque uso
em vez de
):
Agora insiro os valores numéricos (detalhes dos cálculos abaixo):
-
. -
.
Logo
Levando em conta a pequena diferença entre
e
(correção da ordem de
, que para
é
), uma estimativa mais refinada dá
(Quem desejar maior precisão pode avaliar a integral numericamente com quadpack/Simpson; o procedimento acima dá precisão suficiente para a fração percentual.)
Passo 7
Calcular a fração da potência total. O denominador adimensional é
Então a fração irradiada na faixa visível é
ou seja cerca de
da potência total (toda a potência emitida pelo corpo negro).
Comentário prático: isso explica porque lâmpadas incandescentes são tão ineficientes para luz visível — a maior parte da energia está no infravermelho.
Passo 8
Agora calculo as razões entre a intensidade em
e
em relação ao máximo.
Como a constante multiplicativa em
se cancela, podemos usar
Cálculos numéricos (valores já calculados nos passos anteriores):
-
Para
: -
, . -
. -
. - Assim
Ou seja cerca dedo valor máximo. -
-
Para
: -
, . -
. - Assim
Ou seja cerca dedo valor máximo. -
Interpretando: a intensidade em
é bastante menor que o pico (o pico está em
), enquanto em
a intensidade ainda é significativa, porque
está mais próximo do pico.
Passo 9
Como o enunciado pediu também o gráfico: segue uma receita prática (código em Python) que permite calcular numericamente
e traçar o gráfico; com isso pode-se gerar um gráfico preciso e verificar numericamente os números acima.
Exemplo de código (Python, usando numpy e matplotlib). Este código calcula
em uma malha de
, plota e marca 400 nm, 700 nm e o máximo.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# constantes SI
h = 6.62607015e-34
c = 2.99792458e8
k = 1.380649e-23
T = 3000.0 # K
def B_lambda(lam, T):
# lam em metros
a = 2*h*c*c
b = h*c/(lam*k*T)
return a/lam**5 / (np.exp(b)-1.0)
# malha de lambda: 100 nm a 3000 nm
lam_nm = np.linspace(100, 3000, 5000) # em nm
lam = lam_nm*1e-9 # em metros
B = B_lambda(lam, T)
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(lam_nm, B, lw=1.2)
plt.xlabel('Comprimento de onda (nm)')
plt.ylabel(r'\(B_\lambda(\lambda,T)\) (arbitrary units)')
plt.xlim(100, 3000)
plt.ylim(0, B.max()*1.05)
plt.axvline(400, color='orange', linestyle='--', label='400 nm')
plt.axvline(700, color='red', linestyle='--', label='700 nm')
plt.axvline(965.9, color='green', linestyle='--', label='lambda_max ~ 965.9 nm')
plt.legend()
plt.title('Lei de Planck: T = 3000 K')
plt.show()
Esse código gera o gráfico da intensidade espectral por comprimento de onda; para obter a fração visível faz-se a integral numérica usando, por exemplo, ).
np.trapz(B[(lam_nm>=400)&(lam_nm<=700)], lam[(lam_nm>=400)&(lam_nm<=700)]) e divide-se pela integral total np.trapz(B, lam). Isso reproduzirá numericamente a fração calculada analiticamente acima (cerca de
Passo 10
Resumo e verificação plausível:
- O pico calculado por Wien está em
(infravermelho), então a maioria da potência sai em comprimentos de onda maiores que o visível. - A integração adimensional mostra que apenas cerca de
da potência total de um corpo negro a está entre e . - As razões em (b) mostram que
tem intensidade muito menor que o pico ( do pico), enquanto ainda tem intensidades da ordem de do pico.