Uma massa de 10 g está presa a uma mola de constante elástica 25 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Assuma que este oscilador é quantizado justamente como os osciladores de radiação de Planck.
a) Qual a energia mínima que pode ser fornecida a esta massa?
b) Se a massa em repouso absorve esta energia, qual é a amplitude resultante?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Massa: \;m=10\\ \mathrm{g}=0{,}01\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: \;k=25\\ \mathrm{N/m}.
  • Informação extra: o oscilador é quantizado como nos osciladores de Planck (ou seja, energia em níveis discretos).
    Perguntas:
    (a) Qual a energia mínima que pode ser fornecida a esta massa?
    (b) Se a massa em repouso absorve essa energia, qual é a amplitude resultante?

Passo 2

Vamos entender a quantização e o que é a “energia mínima que pode ser fornecida”. Para um oscilador harmônico quantizado os níveis de energia são dados por
E_n=\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\hbar\omega,
onde:
  • \;n=0,1,2,\dots é o número quântico;
  • \;\hbar é a constante reduzida de Planck ( \hbar\approx1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s});
  • \;\omega é a frequência angular do oscilador.
    O menor “pacote” de energia que pode ser absorvido (ou emitido) numa transição entre níveis vizinhos é a diferença entre níveis consecutivos:
\Delta E = E_{n+1}-E_n=\hbar\omega.
Observação pedagógica: existe também a energia de ponto zero E_0=\tfrac{1}{2}\hbar\omega, que é a energia do estado fundamental. Mas a menor energia transferível (não nula) é \hbar\omega. Para a parte (b) usaremos a equivalência entre energia do oscilador e a energia máxima clássica associada à amplitude.

Passo 3

Precisamos da frequência angular \omega. Para um oscilador massa-mola clássico vale
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Substituindo os valores dados:
\omega=\sqrt{\dfrac{25}{0{,}01}}=\sqrt{2500}=50\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular a menor energia transferível \Delta E=\hbar\omega. Usando \hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} e \omega=50\\ \text{rad/s}:
\Delta E=\hbar\omega=1{,}054571817\times10^{-34}\times50 =5{,}272859085\times10^{-33}\\ \mathrm{J}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
\Delta E\approx5{,}27\times10^{-33}\\ \mathrm{J}.
Para referência, a energia do estado fundamental é
E_0=\tfrac{1}{2}\hbar\omega\approx2{,}64\times10^{-33}\\ \mathrm{J},
mas a resposta para (a) referente à menor energia que pode ser fornecida (isto é, o quantum) é \hbar\omega.

Passo 5

Agora a parte (b): se a massa em repouso absorve essa energia \Delta E, qual a amplitude resultante? Em termo clássico, a energia máxima armazenada numa oscilação pura (soma de energia cinética e potencial) é igual à energia potencial máxima que ocorre na amplitude A:
E=\tfrac{1}{2}kA^2.
Aqui estamos assumindo que toda a energia absorvida vai para a oscilação clássica (boa aproximação se a energia recebida for convertida em movimento macroscópico). Então tomamos E=\Delta E e resolvemos para A:
A=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}=\sqrt{\dfrac{2\Delta E}{k}}.

Passo 6

Substituir numericamente \Delta E e k:
2\Delta E=2\times5{,}272859085\times10^{-33}=1{,}054571817\times10^{-32}\\ \mathrm{J}.
\frac{2\Delta E}{k}=\frac{1{,}054571817\times10^{-32}}{25}=4{,}218287268\times10^{-34}\\ \mathrm{m}^2.
Tomando a raiz quadrada:
A=\sqrt{4{,}218287268\times10^{-34}} \approx2{,}054\times10^{-17}\\ \mathrm{m}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
A\approx2{,}05\times10^{-17}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o quantum de energia aqui é absurdamente pequeno (ordem de 10^{-33}\\ \mathrm{J}) e a amplitude resultante é minúscula (ordem de 10^{-17}\\ \mathrm{m}). Isso significa que, apesar de o modelo quantizado permitir “pacotes” bem definidos de energia, para um oscilador macroscópico como massa de 10 g e mola de constante 25 N/m esses quanta são praticamente impossíveis de detectar com instrumentos comuns — mas o cálculo mostra como relacionar a quantização com a amplitude clássica. Vai dar tudo certo na prova — você entendeu como fazer!

Resposta

(a) \Delta E=\hbar\omega\approx5{,}27\times10^{-33}\\ \mathrm{J}
(b) A=\sqrt{\dfrac{2\Delta E}{k}}\approx2{,}05\times10^{-17}\\ \mathrm{m}

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