Uma massa de 10 g está presa a uma mola de constante elástica
. Assuma que este oscilador é quantizado justamente como os osciladores de radiação de Planck.
a) Qual a energia mínima que pode ser fornecida a esta massa?
b) Se a massa em repouso absorve esta energia, qual é a amplitude resultante?
a) Qual a energia mínima que pode ser fornecida a esta massa?
b) Se a massa em repouso absorve esta energia, qual é a amplitude resultante?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Massa:
. - Constante da mola:
. - Informação extra: o oscilador é quantizado como nos osciladores de Planck (ou seja, energia em níveis discretos).
Perguntas:
(a) Qual a energia mínima que pode ser fornecida a esta massa?
(b) Se a massa em repouso absorve essa energia, qual é a amplitude resultante?
Passo 2
Vamos entender a quantização e o que é a “energia mínima que pode ser fornecida”. Para um oscilador harmônico quantizado os níveis de energia são dados por
onde:
-
é o número quântico; -
é a constante reduzida de Planck ( ); -
é a frequência angular do oscilador.
O menor “pacote” de energia que pode ser absorvido (ou emitido) numa transição entre níveis vizinhos é a diferença entre níveis consecutivos:
Observação pedagógica: existe também a energia de ponto zero
, que é a energia do estado fundamental. Mas a menor energia transferível (não nula) é
. Para a parte (b) usaremos a equivalência entre energia do oscilador e a energia máxima clássica associada à amplitude.
Passo 3
Precisamos da frequência angular
. Para um oscilador massa-mola clássico vale
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Calcular a menor energia transferível
. Usando
e
:
Arredondando com 3 algarismos significativos:
Para referência, a energia do estado fundamental é
mas a resposta para (a) referente à menor energia que pode ser fornecida (isto é, o quantum) é
.
Passo 5
Agora a parte (b): se a massa em repouso absorve essa energia
, qual a amplitude resultante? Em termo clássico, a energia máxima armazenada numa oscilação pura (soma de energia cinética e potencial) é igual à energia potencial máxima que ocorre na amplitude
:
Aqui estamos assumindo que toda a energia absorvida vai para a oscilação clássica (boa aproximação se a energia recebida for convertida em movimento macroscópico). Então tomamos
e resolvemos para
:
Passo 6
Substituir numericamente
e
:
Tomando a raiz quadrada:
Arredondando com 3 algarismos significativos:
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o quantum de energia aqui é absurdamente pequeno (ordem de
) e a amplitude resultante é minúscula (ordem de
). Isso significa que, apesar de o modelo quantizado permitir “pacotes” bem definidos de energia, para um oscilador macroscópico como massa de 10 g e mola de constante 25 N/m esses quanta são praticamente impossíveis de detectar com instrumentos comuns — mas o cálculo mostra como relacionar a quantização com a amplitude clássica. Vai dar tudo certo na prova — você entendeu como fazer!
Resposta
(a)
(b)
(b)