Calcule a temperatura de um corpo negro quando a distribuição espectral possui um máximo para:
luz vermelha (λ=670 \mathrm{~nm}) ;

Passo 1

O enunciado pede: calcular a temperatura de um corpo negro cuja distribuição espectral de radiação apresenta máximo em \lambda=670\\ \mathrm{nm}.
Informações relevantes dadas:
  • Comprimento de onda do máximo: \lambda_{\max}=670\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
Quando um corpo negro em equilíbrio térmico emite radiação, a curva da intensidade vs. comprimento de onda tem um único pico (máximo). A posição desse pico desloca-se com a temperatura: quanto mais quente, menor o comprimento de onda do máximo. Essa relação é expressa pela lei de deslocamento de Wien:
\lambda_{\max}\,T = b.
Aqui:
  • \lambda_{\max} é o comprimento de onda (em metros) onde a emissão é máxima;
  • T é a temperatura absoluta do corpo negro (em kelvin, \mathrm{K});
  • b é a constante de deslocamento de Wien, uma constante experimental/teórica com unidades \mathrm{m\cdot K}.
Comentário rápido e intuitivo: essa fórmula significa que o produto do comprimento de onda do pico pela temperatura é constante — se a temperatura sobe, o pico vai para comprimentos menores (cores mais azuladas).

Passo 3

Valor numérico da constante de Wien (e unidade):
Um valor padrão usado é
b = 2{,}897\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Explicando unidades: \mathrm{m\cdot K} garante que \lambda_{\max} (em metros) vezes T (em kelvin) seja sem dimensão e igual a b.

Passo 4

Converter o comprimento de onda dado para metros (passo necessário porque b está em \mathrm{m\cdot K}):
670\\ \mathrm{nm} = 670\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 6{,}70\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Obs.: escrevi em notação científica para facilitar a conta.

Passo 5

Isolar T na lei de Wien (álgebra básica):
T=\frac{b}{\lambda_{\max}}.
Aqui dividimos a constante b pelo comprimento de onda do máximo para obter a temperatura.

Passo 6

Substituir os valores e calcular passo a passo (mostrando os fatores de potência de 10):
T=\frac{2{,}897\times10^{-3}}{6{,}70\times10^{-7}}.
Separe a razão dos coeficientes e a diferença dos expoentes:
T=\left(\frac{2{,}897}{6{,}70}\right)\times10^{-3-(-7)}=\left(\frac{2{,}897}{6{,}70}\right)\times10^{4}.
Calcule a divisão dos coeficientes (feito com aproximação suficiente para prova):
\frac{2{,}897}{6{,}70}\approx0{,}4324.
Portanto
T\approx0{,}4324\times10^{4}=4{,}324\times10^{3}\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação final:
Arredondando para três algarismos significativos, a temperatura é aproximadamente
T\approx4{,}32\times10^{3}\\ \mathrm{K}=4320\\ \mathrm{K}.
Interpretação física curta: um pico em \lambda=670\\ \mathrm{nm} (vermelho) corresponde a uma temperatura da ordem de alguns milhares de kelvin — valor parecido com a temperatura superficial de estrelas mais frias.

Resposta

T\approx4{,}32\times10^{3}\\ \mathrm{K}

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