Através da integração ao longo do arco, mostre que o trabalho realizado pela gravidade no Problema Resolvido 11.5 é igual a
.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente mostrar que, se você pegar o trabalho da gravidade (ou seja, da força peso) ao longo de qualquer arco que eleva ou abaixa um objeto de altura
, esse trabalho dá sempre
O conteúdo aqui é mecânica (trabalho de uma força) e cálculo vetorial (integração ao longo de uma curva).
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- Saber que trabalho é
. - A expressão da força peso em coordenadas cartesianas.
- Como calcular produto escalar e integrar um diferencial ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a força peso em vetores. Em coordenadas
, é
O vetor deslocamento infinitesimal ao longo do arco é
Logo, o produto escalar que entra no trabalho é
Passo 3
Agora, o trabalho ao longo da curva
fica
Mas
é só a diferença de
entre o ponto final e o inicial. Se o ponto inicial tá numa altura
e o final em
, então
Passo 4
Se a variação de altura é
, ou seja,
, a gente tem