Através da integração ao longo do arco, mostre que o trabalho realizado pela gravidade no Problema Resolvido 11.5 é igual a -mgh.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente mostrar que, se você pegar o trabalho da gravidade (ou seja, da força peso) ao longo de qualquer arco que eleva ou abaixa um objeto de altura h, esse trabalho dá sempre
W = -,mgh
O conteúdo aqui é mecânica (trabalho de uma força) e cálculo vetorial (integração ao longo de uma curva).
O que a gente vai precisar:
  1. Saber que trabalho é .
  2. A expressão da força peso em coordenadas cartesianas.
  3. Como calcular produto escalar e integrar um diferencial ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a força peso em vetores. Em coordenadas F = 0 -mg = -,mg,jmath , é
d r = dx,imath + dy,jmath
O vetor deslocamento infinitesimal ao longo do arco é
F!cdot!d r = l(0,-mgr)!cdot!(dx,dy) = 0cdot dx + (-mg)cdot dy = -,mg,dy
Logo, o produto escalar que entra no trabalho é

Passo 3

Agora, o trabalho ao longo da curva W = integralC F!cdot!d r = integralC l(-mg,dyr) = -,mgintegralC dy fica
integralC dy = yf - yi
Mas é só a diferença de entre o ponto final e o inicial. Se o ponto inicial tá numa altura e o final em , então

Passo 4

Se a variação de altura é W = -,mg,(yf - yi) = -,mg,h , ou seja, , a gente tem

Resposta

W = -,mgh

Exercícios relacionados