Através de integrais duplas, determine o volume do sólido delimitado pelo plano
e pelo parabolóide
e compreendido entre eles. Resp.:
.
Passo 1
A questão pede o volume do sólido limitado pelo plano xy (z=0) e pelo parabolóide z=25−x²−y². Vamos usar integrais duplas e, devido à simetria circular, coordenadas polares.
Passo 2
O domínio D projetado no plano xy é dado por x²+y²≤25, ou seja, um círculo de raio 5 centrado na origem.
Em coordenadas cartesianas teríamos V=∬_D(25−x²−y²)dA. Mas como D é um círculo, passamos a coordenadas polares.
Fazemos x=r cosθ, y=r
sinθ e dA=r
dr
dθ. Assim fica
Em coordenadas cartesianas teríamos V=∬_D(25−x²−y²)dA. Mas como D é um círculo, passamos a coordenadas polares.
Fazemos x=r cosθ, y=r
sinθ e dA=r
dr
dθ. Assim fica
Passo 3
Calculamos primeiro a integral em r:
Passo 4
Agora integramos em θ: