Através de integrais duplas, determine o volume do sólido delimitado pelo plano x y e pelo parabolóide z= 25-x^2-y^2 e compreendido entre eles. Resp.: 6252 pi.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido limitado pelo plano xy (z=0) e pelo parabolóide z=25−x²−y². Vamos usar integrais duplas e, devido à simetria circular, coordenadas polares.

Passo 2

O domínio D projetado no plano xy é dado por x²+y²≤25, ou seja, um círculo de raio 5 centrado na origem.
Em coordenadas cartesianas teríamos V=∬_D(25−x²−y²)dA. Mas como D é um círculo, passamos a coordenadas polares.
Fazemos x=r cosθ, y=r
sinθ e dA=r
dr
dθ. Assim fica
V=integral0^2piintegral0^5(25−r^2),r,dr,dtheta

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^5(25r−r^3)dr=[25r^22-r^44]0^5=6254

Passo 4

Agora integramos em θ:
V=integral0^2pi6254,dtheta=6254cdot2pi=6252pi

Resposta

6252pi

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