Utilizando integrais duplas, determine o volume dos sólidos a seguir:
(b) delimitado por x^2+z^2=9, z=2 x, y=0, y=20 e z=0 e compreendido entre elas no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies x^2+z^2=9, z=2x, z=0, e pelos planos y=0 e y=20, tudo no primeiro quadrante. Vamos usar integrais duplas pra isso.

Passo 2

A ideia é escrever o volume como
V=integraly=0^20integral duplaR ,dx,dz,dy
onde R é a região no plano xz delimitada por z=0, z=2x e x^2+z^2=9. Como a integral em y é só de 0 a 20, ela dá um fator 20. Logo
V=20cdotÁrea(R) Á

Passo 3

Para achar a área de R, percebemos que no primeiro quadrante ela é o setor de círculo de raio 3 entre a reta z=0 (direção theta=0) e a reta z=2x, que em coordenadas polares (x=rcostheta,,z=rsintheta) corresponde a theta=arctan(2).

Passo 4

Em coordenadas polares a área fica
Área(R)=integraltheta=0^arctan(2)integralr=0^3r,dr,dtheta =integral0^arctan(2)l[tfracr^22r]0^3dtheta =integral0^arctan(2)tfrac92,dtheta =tfrac92,arctan(2) Á

Passo 5

Substituindo em V=20cdotÁrea(R)Á temos
V=20times92,arctan(2)=90,arctan(2)

Resposta

V=90,arctan(2)

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