Utilizando integrais duplas, determine o volume dos sólidos a seguir:
(d) abaixo do cilindro z=x^2 e acima da região do plano delimitada por y=x^2 e y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo do cilindro dado por $ z = x^{2} $ e acima da região no plano delimitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 1 $. Para isso, vamos usar integrais duplas, que são ferramentas matemáticas que ajudam a calcular volumes sobre regiões específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região no plano que estamos considerando. Temos duas curvas:
  1. $ y = x^{2} $: Essa é uma parábola que abre para cima.
  2. $ y = 1 $: Essa é uma linha horizontal.
Vamos desenhar essas curvas no plano XY para visualizar melhor. A parábola $ y = x^{2} $ cruza a linha $ y = 1 $ nos pontos onde $ x^{2} = 1 $, ou seja, quando $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Então, nossa região de integração está entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $, e para cada $ x $ nesse intervalo, $ y $ varia de $ x^{2} $ até $ 1 $.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume $ V $ usando integrais duplas é:
V
Aqui, $ D $ é a região no plano XY que já identificamos, e $ z = x^{2} $ é a função que nos dá a altura do sólido em cada ponto.
Então, substituindo os limites de integração, temos:
V = integral duplaD z , dA

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
Agora, substituímos isso na integral externa:
integraly=x^2^1 x^2 , dy = x^2 cdot (1 - x^2) = x^2 - x^4

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
integral-1^1 x^2 , dx - integral-1^1 x^4 , dx
Calculando cada parte separadamente:
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = ( 13 - ( (-1)^33 ) ) = 23
integral-1^1 x^4 , dx = [ x^55 ]-1^1 = ( 15 - (-1)^55 ) = 25
Subtraindo os resultados:
V = 23 - 25 = 10 - 615 = 415

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{4}{15} $ unidades cúbicas.

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