Utilizando integrais duplas, determine o volume dos sólidos a seguir:
(d) abaixo do cilindro
e acima da região do plano delimitada por
e
.
(d) abaixo do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo do cilindro dado por $ z = x^{2} $ e acima da região no plano delimitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 1 $. Para isso, vamos usar integrais duplas, que são ferramentas matemáticas que ajudam a calcular volumes sobre regiões específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região no plano que estamos considerando. Temos duas curvas:
- $ y = x^{2} $: Essa é uma parábola que abre para cima.
- $ y = 1 $: Essa é uma linha horizontal.
Vamos desenhar essas curvas no plano XY para visualizar melhor. A parábola $ y = x^{2} $ cruza a linha $ y = 1 $ nos pontos onde $ x^{2} = 1 $, ou seja, quando $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Então, nossa região de integração está entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $, e para cada $ x $ nesse intervalo, $ y $ varia de $ x^{2} $ até $ 1 $.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular o volume. A fórmula geral para o volume $ V $ usando integrais duplas é:
Aqui, $ D $ é a região no plano XY que já identificamos, e $ z = x^{2} $ é a função que nos dá a altura do sólido em cada ponto.
Então, substituindo os limites de integração, temos:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Calculando cada parte separadamente:
Subtraindo os resultados:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{4}{15} $ unidades cúbicas.