Determine a série de Taylor
da função
em torno do ponto
e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade
.
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = e{2x2} $ em torno de $ a = 0 $. Além disso, vamos determinar o raio de convergência dessa série e ver se ela realmente representa a função original, ou seja, se $ T_{0} f(x) = f(x) $. Para isso, vamos precisar saber como expandir funções exponenciais em séries de Taylor e entender um pouco sobre convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para a função exponencial $ e^u $ em torno de 0:
No nosso caso, $ u = 2x^2 $. Então, substituindo na série, temos:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão para deixar a série mais clara:
Então, a série de Taylor $ T_{0} f(x) $ da função $ f(x) = e{2x2} $ em torno de $ a = 0 $ é:
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que é muito útil para séries de potências. O teste diz que:
Onde $ a_n = \frac{2^n x^{2n}}{n!} $. Vamos calcular o limite:
Tomando o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Isso significa que o raio de convergência é infinito, ou seja, a série converge para todos os valores de $ x $.
Passo 5
Por último, vamos verificar se a série de Taylor realmente representa a função $ f(x) = e{2x2} $ para todo $ x $. Sabemos que a série de Taylor de uma função exponencial com um polinômio no expoente tem essa propriedade de representação para todos os $ x $ onde a série converge. Como nosso raio de convergência é infinito, isso vale para todo $ x $.
Resposta
A série de Taylor de $ f(x) = e{2x2} $ em torno de $ a = 0 $ é:
O raio de convergência dessa série é infinito, e a igualdade $ T_{0} f(x) = f(x) $ vale para todos os valores de $ x $.