Encontre a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=lx,-pi <= x<0, 0, 0 <= x<pi ; f(x+2 pi)=f(x)

Passo 1

Estamos buscando a série de Fourier periódica, de período
com (f(x+2\pi)=f(x)]. Para isso vamos usar as fórmulas

Passo 2

Calcular a0. Como f(x)=0 em [0,pi), só precisamos integrar de -pi a 0:
a0 =1piintegral-pi^0 x,dx =1pil[tfracx^22r]-pi^0 =1pil(0-tfracpi^22r) =-pi2
Logo, o termo constante na série é tfraca02=-tfracpi4.

Passo 3

Calcular an.
an =1piintegral-pi^0 xcos(nx),dx
Fazendo integração por partes com u=x, dv=cos(nx),dx ( v=tfracsin(nx)n), obtemos
integral xcos(nx),dx =xsin(nx)n+cos(nx)n^2
Então
integral-pi^0 xcos(nx),dx =l[xsin(nx)n+cos(nx)n^2r]-pi^0 =1n^2-(-1)^nn^2 =1-(-1)^nn^2
Logo
an =1pi,1-(-1)^nn^2 = 2pi n^2,&n ímpar, 0,&n par í

Passo 4

Calcular bn.
bn =1piintegral-pi^0 xsin(nx),dx
Integramos por partes com u=x, dv=sin(nx),dx ( v=-tfraccos(nx)n), dando
integral xsin(nx),dx =-xcos(nx)n+sin(nx)n^2
Avalia em -pi a 0:
integral-pi^0 xsin(nx),dx =l[-xcos(nx)n+sin(nx)n^2r]-pi^0 =0-l(pi(-1)^nnr) =-pi(-1)^nn
Então
bn =1pil(-pi(-1)^nnr) =(-1)^n+1n

Passo 5

Montamos a série de Fourier:
Substituindo os coeficientes:

Resposta

f(x) =-pi4 +sumsubstackk=0^infty2pi(2k+1)^2cosl((2k+1)xr) +sumn=1^infty(-1)^n+1nsin(nx)

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