Através do método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular yp(t) de
y^prime prime+4 y=6 t sen(4 t).

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular yp(t) para a equação
y'' + 4y = 6,tsin(4t)
usando o método dos coeficientes a determinar. Aqui o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1 vezes sin(4t), e a equação homogênea y''+4y=0 tem frequência natural 2, diferente de 4. Logo não há ressonância com 4t, e podemos propor um ansatz de grau 1 em t para cos(4t) e sin(4t).

Passo 2

Proponho
yp(t) = (A,t + B)cos(4t) + (C,t + D)sin(4t),
onde A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Calculo yp' e yp''.
Primeiro,
yp' = Acos(4t) -4(A,t+B)sin(4t) + Csin(4t) +4(C,t+D)cos(4t)
Reagrupando,
yp' = l(A +4C,t +4Dr)cos(4t) +l(C -4A,t -4Br)sin(4t)
Depois,
yp'' = ddtyp' = (-16A,t +8C -16B)cos(4t) +(-16C,t -8A -16D)sin(4t)

Passo 4

Agora monto
yp'' + 4yp = l(-16A,t +8C -16Br)cos(4t) + l(-16C,t -8A -16Dr)sin(4t) +4l((A,t+B)cos(4t)+(C,t+D)sin(4t)r)
Isso dá, após juntar termos,
yp'' +4yp = l(-12A,t +8C -12Br)cos(4t) + l(-12C,t -8A -12Dr)sin(4t)
Para satisfazer a equação, isso deve ser igual a 6tsin(4t), ou seja,
(-12A,t +8C -12B)cos(4t) +(-12C,t -8A -12D)sin(4t) = 0cdotcos(4t) +6t,sin(4t)

Passo 5

Igualando coeficientes de t e constantes em cos e sin, obtemos o sistema:
-12A = 0, 8C -12B = 0, -12C = 6, -8A -12D = 0
Dessa forma,
A=0, -12C=6implies C=-tfrac12, 8C=12Bimplies B=tfracC3/2=-tfrac13, -12D=0implies D=0

Passo 6

Substituindo em yp(t), fica
yp(t) = l(0cdot t -tfrac13r)cos(4t) +l(-tfrac12,t +0r)sin(4t) = -tfrac13cos(4t);-;tfrac12,t,sin(4t)

Resposta

yp(t) = -13cos(4t);-;t2,sin(4t)

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